环氧乙烷的分解是一级反应。380℃的半衰期为363min,反应的活化能为217.57 kJ·mol-1。试求该反应在450℃条件下完成75%所需时间。

本题主要考察一级反应的动力学特征及阿伦尼乌斯公式的应用，具体步骤如下：

步骤1：明确一级反应的半衰期与速率常数的关系

一级反应的半衰期公式为为：
$t_{t_{1/2}} = \frac{0.693}{k}$
已知380℃~℃（即 $T_T_1 = 380 + 273.15 = 653.15\,\text{K}$的半衰期}\,t_{1/2}=363\,\text{min} )，可计算该温度下的速率常数 \(k₁： $k_1 = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{363}\,\text{min}^{-1} \approx 0.00191\,\text{min}^{-1}$ }\] ## **步骤2：用阿伦尼乌斯公式计算450℃时的速率常数k₂** 阿伦尼乌斯公式的对数形式为： $\ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)}$ 其中： - 活化能 \(Eₐ=217.57 kJ/mol=217570 J/mol - 气体常数R=8.314 J/(mol·K) - 450℃时 $T_2=450 + 273.15=723.15\,\text{K}$

代入数据计算：
$\ln\left(\frac{k_2}{0.0191}\right) = \frac{217570}{8.314}\left(\frac{1}{653.15} - \frac{1}{723.15}\right)$
$\ln\left(\frac{k_2}{0.00191}\right) \approx 3.88$
$\frac{k_2}{0.00191} \approx e^{3.88} \approx 48.43$
$k_2 \approx 48.43 \times 0.00191 \approx 0.0925\,\text{min}^{-1}$

步骤3：计算450℃下完成75%反应的时间t

一级反应的积分式为：
$\ln\left(\frac{1}{1 - x}\right) = k_2t$
完成75%反应时，剩余反应物浓度为 $1 - x = 1 - 0.75 = 0.25$，代入得：
$\ln\left(\frac{0.25}\right) = -0.0925t$
$t = -\frac{\ln 0.225}{0.0925} \approx \frac{1.386}{0.0925} \approx 15\,\text{min}$