油在直径为100mm的管内流动，在管截面上的速度分布大致用下式表示：u=20y-200y2 ，式中y为截面上的任一点距管壁的径向距离m；u为该点上的流速m/s。 求（1）管中心的流速（）m/s，（2）管壁处的速度梯度（）1/s。 （3）管壁处的剪应力（）N/m2；又求长100m的管内壁面所作用的全部阻力（）N。 (小数点后均保留一位）。（油的粘度50cP）

考查要点：本题主要考查流体力学中速度分布、剪应力计算及阻力计算的基本方法，涉及导数应用、牛顿内摩擦定律及受力分析。

解题核心思路：

1. 管中心流速：确定管中心对应的径向距离，代入速度公式计算。
2. 速度梯度：对速度分布函数求导，代入管壁处的径向距离。
3. 剪应力：利用牛顿内摩擦定律，结合速度梯度和粘度计算。
4. 总阻力：将剪应力作用在管壁的总表面积上，计算总力。

破题关键点：

• 理解y的定义：题目中y是距管壁的径向距离，管壁处y=0，中心处y=R（半径）。
• 正确求导：速度梯度需对速度函数求导后代入边界条件。
• 单位换算：粘度单位从cP转换为Pa·s（1cP=0.001Pa·s）。

（1）管中心的流速

步骤1：确定管中心的y值
管直径为100mm，半径$R=0.05$ m，管中心距管壁的径向距离为$y=R=0.05$ m。
步骤2：代入速度公式
$u = 20y - 200y^2 = 20 \times 0.05 - 200 \times (0.05)^2 = 1 - 0.5 = 0.5 \, \text{m/s}$

（2）管壁处的速度梯度

步骤1：对速度函数求导
$\frac{du}{dy} = 20 - 400y$
步骤2：代入管壁处y=0
$\left. \frac{du}{dy} \right|_{y=0} = 20 - 400 \times 0 = 20 \, \text{1/s}$

（3）管壁处的剪应力

步骤1：应用牛顿内摩擦定律
$\tau = \mu \frac{du}{dy} = 0.05 \, \text{Pa·s} \times 20 \, \text{1/s} = 1.0 \, \text{N/m}^2$

（4）长100m管的总阻力

步骤1：计算管内表面积
管周长$C = \pi d = \pi \times 0.1 \, \text{m}$，总表面积$A = C \times L = \pi \times 0.1 \times 100 = 10\pi \, \text{m}^2$。
步骤2：计算总阻力
$F = \tau \times A = 1.0 \, \text{N/m}^2 \times 10\pi \, \text{m}^2 \approx 31.4 \, \text{N}$