航天英雄杨利伟是 2005 年乘坐“神舟三号”飞船，完成“飞天”梦的。

杨利伟是中国第一位进入太空的航天员，他于2003年乘坐“神舟五号”飞船成功完成太空飞行任务。因此，题目中提到的“神舟三号”和“2005年”都是错误的。