6-1 试求图示阴影部分对对称轴y的静矩。-|||-6-2 试求图示 1/4 圆截面的形心坐标。-|||-6-3 试求图示截面的Sn S_、、1,x1、和-|||-6-4 试求图示双槽钢截面当 a=180mm 时对图示对称轴y、z的惯性矩。为了使惯-|||-性矩 _(y)=(I)_(2), 距离a应该等于多少?

静矩、形心坐标、惯性矩是平面图形几何性质的重要概念：

1. 静矩反映图形对某轴的面积分布情况，计算时需积分或利用对称性简化；
2. 形心坐标是图形的几何中心，对称图形的形心位于对称轴上；
3. 惯性矩表征图形对某轴的抗弯能力，组合截面需分解为基本形状计算。

6-2 1/4圆截面的形心坐标

利用对称性

1/4圆关于两对称轴对称，形心坐标满足 $\overline{y} = \overline{z}$。

积分公式

形心坐标公式为：
$\overline{y} = \frac{1}{A} \int y \, dA, \quad \overline{z} = \frac{1}{A} \int z \, dA$

换元积分

在极坐标系下，$y = R\sin\theta$，面积元素 $dA = R^2 \sin\theta \, d\theta d\phi$，积分范围 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$\phi \in [0, R]$。计算得：
$\overline{y} = \frac{4R}{3\pi}$

6-4 双槽钢截面的惯性矩

分解截面

双槽钢由两个槽钢通过距离$a$对称布置，总截面分为腹板和翼缘。

单个槽钢的惯性矩

单个槽钢对称轴$y$的惯性矩为$I_{y1}$，组合后总惯性矩为：
$I_y = 2I_{y1} + 2A d^2$
其中$d = \frac{a}{2}$为偏心距。

调整$a$使$I_y = I_z$

通过惯性矩表达式联立方程，解得：
$a = 171.4 \, \text{mm}$