8.7 空心钢轴的外径 =100mm, 内径 =50mm, 材料的切变模量 =80GPa 若要求-|||-轴在2m内的最大扭转角不超过1.5°,试求所能承受的最大扭矩及此时轴内的最大切应力。

考查要点：本题主要考查空心圆轴扭转时的最大扭矩和最大切应力的计算，涉及极惯性矩、扭转角公式及切应力公式的应用。

解题核心思路：

1. 极惯性矩计算：根据空心轴的外径和内径，计算极惯性矩$J$。
2. 最大扭矩求解：利用扭转角公式$\theta = \frac{T L}{G J}$，将已知的最大扭转角代入，反求最大扭矩$T_{\text{max}}$。
3. 最大切应力计算：通过切应力公式$\tau_{\text{max}} = \frac{16 T D}{\pi (D^4 - d^4)}$，结合已求得的$T_{\text{max}}$，计算最大切应力。

破题关键点：

• 单位统一：注意长度单位（毫米与米）和力单位（牛顿与千牛）的转换。
• 公式选择：正确应用空心轴的极惯性矩公式和切应力公式，避免混淆实心轴与空心轴的差异。

1. 计算极惯性矩$J$

极惯性矩公式为：
$J = \frac{\pi}{32} \left( D^4 - d^4 \right)$
代入$D = 100 \, \text{mm}$，$d = 50 \, \text{mm}$：
$J = \frac{\pi}{32} \left( 100^4 - 50^4 \right) = \frac{\pi}{32} \cdot 93,750,000 \, \text{mm}^4 \approx 9.206 \times 10^6 \, \text{mm}^4$
转换为国际单位制：
$J = 9.206 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \times 10^{-12} \, \text{m}^4/\text{mm}^4 = 9.206 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$

2. 求最大扭矩$T_{\text{max}}$

根据扭转角公式：
$\theta = \frac{T L}{G J} \implies T_{\text{max}} = \frac{\theta_{\text{max}} G J}{L}$
代入$\theta_{\text{max}} = 1.5^\circ = 0.02618 \, \text{rad}$，$G = 80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^9 \, \text{Pa}$，$L = 2 \, \text{m}$：
$T_{\text{max}} = \frac{0.02618 \cdot 80 \times 10^9 \cdot 9.206 \times 10^{-6}}{2} \approx 9.64 \, \text{kN} \cdot \text{m}$

3. 求最大切应力$\tau_{\text{max}}$

切应力公式为：
$\tau_{\text{max}} = \frac{16 T D}{\pi (D^4 - d^4)}$
代入$T_{\text{max}} = 9.64 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 9640 \, \text{N} \cdot \text{m}$，$D = 0.1 \, \text{m}$，$d = 0.05 \, \text{m}$：
$\tau_{\text{max}} = \frac{16 \cdot 9640 \cdot 0.1}{\pi \left( 0.1^4 - 0.05^4 \right)} \approx 52.4 \, \text{MPa}$