题目
用虹吸管从高位槽向反应器加料,如下图所示,高位槽和反应器均与大气相通,要求料液在管内以Vm/s的速度流动(不计能量损失)。试证明高位槽的液面应比虹吸管的出口高出的距离h只与V有关(重力加速度g)。三-|||-高位槽-|||-T-|||-反应 器
用虹吸管从高位槽向反应器加料,如下图所示,高位槽和反应器均与大气相通,要求料液在管内以Vm/s的速度流动(不计能量损失)。试证明高位槽的液面应比虹吸管的出口高出的距离h只与V有关(重力加速度g)。
题目解答
答案
为了证明高位槽的液面与虹吸管出口高出的距离 ( h ) 只与流速 ( V ) 和重力加速度 ( g ) 有关，我们可以通过分析流体静力学和伯努利方程来进行推导。
1. 基本假设
高位槽和反应器都与大气相通，因此在这两个位置的压力为大气压力
。
在虹吸管内，流体以均匀速度 ( V ) 流动。
不考虑能量损失。
2. 应用伯努利方程
根据伯努利方程，在高位槽液面（点1）与虹吸管出口（点2）之间，我们可以写出如下关系：
其中：
是高位槽液面的压力（等于大气压力）。
是虹吸管出口的压力（也等于大气压力）。
是高位槽液面到参考平面的高度。
是虹吸管出口到参考平面的高度。
是高位槽液体的速度，通常可以视为接近于零
，因为高位槽的面积通常大于虹吸管的横截面。
是虹吸管出口处的流速 ( V )。
3. 简化伯努利方程
将上述条件代入伯努利方程：
由于两边的相同，可以消去，得：
4. 重新排列方程
将方程整理得到：
5. 定义高度差
令
，则上式可简化为：
6. 消去密度
将两边除以（前提是
）：
7. 解出高度差 ( h )
最终将公式整理为：
解析
步骤 1：应用伯努利方程
根据伯努利方程，在高位槽液面（点1）与虹吸管出口（点2）之间，我们可以写出如下关系：
\[ P_1 + \rho g z_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \]
其中：
- \( P_1 \) 是高位槽液面的压力（等于大气压力 \( P_0 \)）。
- \( P_2 \) 是虹吸管出口的压力（也等于大气压力 \( P_0 \)）。
- \( z_1 \) 是高位槽液面到参考平面的高度。
- \( z_2 \) 是虹吸管出口到参考平面的高度。
- \( v_1 \) 是高位槽液体的速度，通常可以视为接近于零 \( (v_1 \approx 0) \)，因为高位槽的面积通常大于虹吸管的横截面。
- \( v_2 \) 是虹吸管出口处的流速 \( V \)。
步骤 2：简化伯努利方程
将上述条件代入伯努利方程：
\[ P_0 + \rho g z_1 + 0 = P_0 + \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho V^2 \]
由于两边的 \( P_0 \) 相同，可以消去，得：
\[ \rho g z_1 = \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho V^2 \]
步骤 3：重新排列方程
将方程整理得到：
\[ \rho g (z_1 - z_2) = \frac{1}{2} \rho V^2 \]
步骤 4：定义高度差
令 \( h = z_1 - z_2 \)，则上式可简化为：
\[ \rho g h = \frac{1}{2} \rho V^2 \]
步骤 5：消去密度 \( \rho \)
将两边除以 \( \rho \)（前提是 \( \rho \neq 0 \)）：
\[ g h = \frac{1}{2} V^2 \]
步骤 6：解出高度差 \( h \)
最终将公式整理为：
\[ h = \frac{V^2}{2g} \]
根据伯努利方程，在高位槽液面（点1）与虹吸管出口（点2）之间，我们可以写出如下关系：
\[ P_1 + \rho g z_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \]
其中：
- \( P_1 \) 是高位槽液面的压力（等于大气压力 \( P_0 \)）。
- \( P_2 \) 是虹吸管出口的压力（也等于大气压力 \( P_0 \)）。
- \( z_1 \) 是高位槽液面到参考平面的高度。
- \( z_2 \) 是虹吸管出口到参考平面的高度。
- \( v_1 \) 是高位槽液体的速度，通常可以视为接近于零 \( (v_1 \approx 0) \)，因为高位槽的面积通常大于虹吸管的横截面。
- \( v_2 \) 是虹吸管出口处的流速 \( V \)。
步骤 2：简化伯努利方程
将上述条件代入伯努利方程：
\[ P_0 + \rho g z_1 + 0 = P_0 + \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho V^2 \]
由于两边的 \( P_0 \) 相同，可以消去，得：
\[ \rho g z_1 = \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho V^2 \]
步骤 3：重新排列方程
将方程整理得到：
\[ \rho g (z_1 - z_2) = \frac{1}{2} \rho V^2 \]
步骤 4：定义高度差
令 \( h = z_1 - z_2 \)，则上式可简化为：
\[ \rho g h = \frac{1}{2} \rho V^2 \]
步骤 5：消去密度 \( \rho \)
将两边除以 \( \rho \)（前提是 \( \rho \neq 0 \)）：
\[ g h = \frac{1}{2} V^2 \]
步骤 6：解出高度差 \( h \)
最终将公式整理为：
\[ h = \frac{V^2}{2g} \]