在测区范围内有一四边形地块,用GNSSRTK方法测量得到地块四个角点的坐标为A(3000, 3000)、B(3420, 3200)、C(3850, 3260)、D(3800, 3440)坐标单位为米,该四边形地块ABCD的面积为:( )A 3044600m²B 52600m²C 105200m²D 1522300m²
在测区范围内有一四边形地块,用GNSSRTK方法测量得到地块四个角点的坐标为A(3000, 3000)、B(3420, 3200)、C(3850, 3260)、D(3800, 3440)坐标单位为米,该四边形地块ABCD的面积为:( ) A 3044600m² B 52600m² C 105200m² D 1522300m²
题目解答
答案
要解决四边形地块 $ABCD$ 的面积计算问题,我们可以使用鞋带公式(适用于已知顶点坐标的多边形面积计算)。
步骤1:明确顶点坐标
四边形四个顶点坐标(按顺序排列)为:
$A(3000, 3000)$、$B(3420, 3200)$、$C(3850, 3260)$、$D(3800, 3440)$,且需回到起点 $A(3000, 3000)$ 闭合多边形。
步骤2:应用鞋带公式
鞋带公式的核心是:对于顶点 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n)$ 的多边形,面积为:
$\text{面积} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$
其中 $x_{n+1}=x_1$,$y_{n+1}=y_1$(闭合多边形)。
步骤3:代入坐标计算
将 $A、B、C、D、A$ 的坐标代入公式,分两部分计算:
第一部分:$x_i y_{i+1}$ 的和
$\begin{align*}x_A y_B &= 3000 \times 3200 = 9600000 \\x_B y_C &= 3420 \times 3260 = 11149200 \\x_C y_D &= 3850 \times 3440 = 13244000 \\x_D y_A &= 3800 \times 3000 = 11400000 \\\text{总和}_1 &= 9600000 + 11149200 + 13244000 + 11400000 = 45393200 \\\end{align*}$
第二部分:$y_i x_{i+1}$ 的和
$\begin{align*}y_A x_B &= 3000 \times 3420 = 10260000 \\y_B x_C &= 3200 \times 3850 = 12320000 \\y_C x_D &= 3260 \times 3800 = 12388000 \\y_D x_A &= 3440 \times 3000 = 10320000 \\\text{总和}_2 &= 10260000 + 12320000 + 12388000 + 10320000 = 45288000 \\\end{align*}$
计算面积
$\text{面积} = \frac{1}{2} \left| \text{总和}_1 - \text{总和}_2 \right| = \frac{1}{2} \left| 45393200 - 45288000 \right| = \frac{1}{2} \times 105200 = 52600 \, \text{m}^2$
结论
四边形地块 $ABCD$ 的面积为 $\boldsymbol{52600 \, \text{m}^2}$,对应选项 B。