四、(8分)圆截面杆受力如图,材料的弹性模量E=200GPa,泊松比E=200,许用应力E=200MPa。若已分别测得圆杆表面上一点E=200沿轴线E=200以及沿与轴线成45方向的线应变E=200、E=200,试按第三强度理论(最大切应力理论)校核该圆杆的强度。E=200

本题主要考察材料力学中圆截面杆的强度校核，涉及广义胡克定律、平面应力状态下的应力分析以及第三强度理论（最大切应力理论）的应用，具体步骤如下：

1. 计算轴向应力$\sigma_x_x$

圆杆表面沿轴线方向的线应变$\varepsilon_x$由轴向应力$\sigma_x$引起（轴力$P$引起）产生，根据胡克定律：
$\sigma_x = E\varepsilon_x$
代入数据：$E=200\,\text{GPa}=200\times10^9\,\text{Pa}$，$\varepsilon_x=4.0\times10^{-4}$，得：
$\sigma_x = 200\times10^9\times4.0\times10^{-4}=80\,\text{MPa}$

2. 计算切应力分量$\tau_{xy}$

圆杆受横向力$P$和扭矩$T$（弯矩$M_x$和扭矩$T_{xy}$），表面点为平面应力状态$(\sigma_y=0,\ \tau_{yz}=\tau_{xy})$。
与轴线成$45^\circ$方向的线应变$\varepsilon_{45^\circ}$由广义胡克定律：
$\varepsilon_{45^\circ}=\frac{1}{E}(\sigma_{45^\circ}-\mu\mu\sigma_{-45^\circ})$
其中，$\sigma_{45^\circ}=\frac{\sigma_x}{2}-\tau_{xy}$，$\sigma_{-45^\circ}=\frac{\sigma_x}{2}+\tau_{xy}$，代入得：
$\varepsilon_{45^\circ}=\frac{1}{E}\left[\left(\frac{\sigma_x}{2}-\tau_{xy}\right)-\mu\left(\frac{\sigma_x}{2}+\tau_{xy}\right)\right]=\frac{1}{2E}[(1-\mu)\sigma_x-(1+\mu)\tau_{xy}]$
代入$\varepsilon_{45^\circ}=-2.0\times10^{-4}$，$\sigma_x=80\,\text{MPa}$，$\mu=0.3$，解得：
$-2.0\times10^{-4}=\frac{1}{2\times200\times10^9}[(1-0.3)\times80-(1+0.3)\tau_{xy}]$
化简得：$\tau_{xy}\approx61.54\,\text{MPa}$

3. 第三强度理论校核

第三强度理论认为，危险应力强度$\sigma_{r3}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2}$（平面应力状态下$\sigma_3=0$，简化为$\sigma_{r3}=\sqrt{\sigma_x^2+4\tau_{xy}^2}$）。
代入$\sigma_x=80\,\text{MPa}$，$\tau_{xy}\approx61.54\,\text{MPa}$：
$\sigma_{r3}=\sqrt{80^2+(61.54)^2}\approx131.7\,\text{MPa}<[\sigma]=150\,\text{MPa} \quad(\text{安全})$