题目
10-5 已知应力状态如图所示,(1)试求主应力-|||-大小,确定主平面位置;(2)在单元体上绘出主平面-|||-位置及主应力方向;(3)求最大切应力。-|||-20MPa 40MPa 30MPa 40MPa-|||-square 50MPa 20MPa 20MPa 40MPa-|||-20MPa-|||-10MPa 20MPa-|||-(a) (b) (c) (d)-|||-题 10-5 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力。主应力是应力状态下的三个正应力，它们的方向相互垂直。主应力可以通过求解应力状态的特征方程来确定。对于平面应力状态，特征方程为：
$${\sigma }^{3}-I_{1}{\sigma }^{2}+I_{2}\sigma -I_{3}=0$$
其中，$I_{1}$、$I_{2}$、$I_{3}$分别是应力状态的三个不变量。对于平面应力状态，$I_{1}={\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}$，$I_{2}={\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2}$，$I_{3}=0$。对于每个图，我们分别计算主应力。
步骤 2：确定主平面位置
主平面是主应力作用的平面，其位置可以通过求解应力状态的主方向来确定。主方向可以通过求解应力状态的特征向量来确定。对于平面应力状态，主方向可以通过求解以下方程来确定：
$$\begin{bmatrix} {\sigma }_{x}-\sigma & {\tau }_{xy} \\ {\tau }_{xy} & {\sigma }_{y}-\sigma \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_{x} \\ n_{y} \end{bmatrix}=0$$
其中，$\sigma$是主应力，$n_{x}$和$n_{y}$是主方向的单位向量。对于每个图，我们分别计算主平面的位置。
步骤 3：求最大切应力
最大切应力是应力状态下的最大剪应力。最大切应力可以通过求解应力状态的不变量来确定。对于平面应力状态，最大切应力可以通过求解以下方程来确定：
$${\tau }_{max}=\frac{1}{2}\sqrt{({\sigma }_{x}-{\sigma }_{y})^{2}+4{\tau }_{xy}^{2}}$$
对于每个图，我们分别计算最大切应力。
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力。主应力是应力状态下的三个正应力，它们的方向相互垂直。主应力可以通过求解应力状态的特征方程来确定。对于平面应力状态，特征方程为：
$${\sigma }^{3}-I_{1}{\sigma }^{2}+I_{2}\sigma -I_{3}=0$$
其中，$I_{1}$、$I_{2}$、$I_{3}$分别是应力状态的三个不变量。对于平面应力状态，$I_{1}={\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}$，$I_{2}={\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2}$，$I_{3}=0$。对于每个图，我们分别计算主应力。
步骤 2：确定主平面位置
主平面是主应力作用的平面，其位置可以通过求解应力状态的主方向来确定。主方向可以通过求解应力状态的特征向量来确定。对于平面应力状态，主方向可以通过求解以下方程来确定：
$$\begin{bmatrix} {\sigma }_{x}-\sigma & {\tau }_{xy} \\ {\tau }_{xy} & {\sigma }_{y}-\sigma \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_{x} \\ n_{y} \end{bmatrix}=0$$
其中，$\sigma$是主应力，$n_{x}$和$n_{y}$是主方向的单位向量。对于每个图，我们分别计算主平面的位置。
步骤 3：求最大切应力
最大切应力是应力状态下的最大剪应力。最大切应力可以通过求解应力状态的不变量来确定。对于平面应力状态，最大切应力可以通过求解以下方程来确定：
$${\tau }_{max}=\frac{1}{2}\sqrt{({\sigma }_{x}-{\sigma }_{y})^{2}+4{\tau }_{xy}^{2}}$$
对于每个图，我们分别计算最大切应力。