一对按标准中心距安装的外啮合渐开线直齿圆柱标准齿轮,其小齿轮已损坏,需要配 制,今测得两轴中心距 a = 310mm,大齿轮齿数z2 = 100,齿顶圆直径da^ 408 mm =20 : h;=1, c”=0.25,试确定小齿轮的基本参数及其分度圆和齿顶圆的直径。5.

本题主要考查渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数计算及基圆与齿根圆关系分析。解题核心思路如下：

1. 利用已知大齿轮参数求模数，验证模数一致性；
2. 根据中心距公式反推小齿轮分度圆直径，结合模数求齿数；
3. 计算小齿轮的齿顶圆直径；
4. 建立基圆与齿根圆重合的方程，求解临界齿数，并分析齿数变化对两者大小的影响。

1. 确定大齿轮模数

根据大齿轮齿顶圆公式：
$d_{a2} = m_2(z_2 + 2h_a^*)$
代入已知条件 $d_{a2}=408\,\text{mm}$，$z_2=100$，$h_a^*=1$：
$m_2 = \frac{408}{100 + 2 \times 1} = \frac{408}{102} = 4\,\text{mm}$
验证模数一致性：$m_1 = m_2 = m = 4\,\text{mm}$。

2. 计算小齿轮分度圆直径

标准中心距公式：
$a = \frac{d_1 + d_2}{2}$
已知 $a=310\,\text{mm}$，大齿轮分度圆直径 $d_2 = m z_2 = 4 \times 100 = 400\,\text{mm}$，代入得：
$d_1 = 2a - d_2 = 2 \times 310 - 400 = 220\,\text{mm}$

3. 计算小齿轮齿数

$z_1 = \frac{d_1}{m} = \frac{220}{4} = 55$

4. 计算小齿轮齿顶圆直径

$d_{a1} = m(z_1 + 2h_a^*) = 4 \times (55 + 2 \times 1) = 228\,\text{mm}$

5. 基圆与齿根圆重合条件

基圆直径 $d_b = m z \cos\alpha$，齿根圆直径 $d_f = m(z - 2h_a^* - 2c^*)$。令 $d_b = d_f$：
$z \cos\alpha = z - 2(h_a^* + c^*)$
代入 $\alpha=20^\circ$，$h_a^*=1$，$c^*=0.25$：
$z = \frac{2(h_a^* + c^*)}{1 - \cos\alpha} = \frac{2(1 + 0.25)}{1 - \cos20^\circ} \approx \frac{2.5}{0.0603} \approx 41.45$
当 $z > 41.45$ 时，基圆直径 $d_b = m z \cos\alpha$ 随 $z$ 增大更快，故基圆大于齿根圆。