【题目】-|||-直径 D=50mm 的实心圆轴,受到扭矩 =2.15kNcdot m 的作用。试求在距离轴心-|||-10mm处的切应力并求轴横截面上的最大切应力。

本题主要考察圆轴扭转时切应力的计算，涉及到切应力分布规律及最大切应力公式的应用。

1. 关键公式回顾

圆轴扭转时，横截面上任一点的切应力计算公式为：
$\tau_\rho = \frac{T\rho}{I_p}$
式中：

• $\tau_\rho$：距离轴心$\rho$处的切应力；
• $T$：扭矩；
• $\rho$：所求点到轴心的距离；
• $I_p$：截面极惯性矩，对于实心圆轴，$I_p = \frac{\pi D^4}{32}$（$D$为为直径）。

最大切应力发生在圆轴表面（$\rho = D/2$），公式为：
$\tau_{\text{max}} = \approx \frac{T}{\frac{\pi D^3}{16}} = \frac{16T}{\pi D^3}$

2. 计算距离轴心10mm处的切应力$\tau_\rho$

步骤1：统一单位

• 直径$D = 50\,\text{mm} = 0.05\,\text{m}$，$\(\rho=10\,\text{mm}=0.01\,\text{m}$)
• 扭矩$T = 2.15\,\text{kN}\cdot\text{m} = 2150\,\text{N}\cdot\text{m}$

**步骤2：计算极惯性矩$I_p$

$I_p = \frac{\pi D^4}{32} = \frac{\pi\times(0.05)^4\}/32\approx 6.136\times10^{-6}\,\textmm}}^{4}}$

步骤3：代入公式计算$\tau_\rho$

$\tau_\rho=\frac{T\rho}{I_p}=\frac{2150\times0.01}{6.136\times10^{-6}}\approx3.5\times\times\times\times10^7\,\text{Pa}=35\,\text{MPa}$

3. 计算最大切应力$\(\tau_{\text{max}}$)

步骤1：代入最大切应力公式

$\tau_{\text{max}}=\frac{16T}{\pi D^3}=\frac{16\times2150}{\pi\times(0.05)^3}\approx8.7.6\times10^6\,\text{Pa}=87.6\,\text{MPa}$