3-12 放射性同位素^13N的放射强度经18.6 min后衰减为原来的27.4%。-|||-若放射性核衰变符合一级反应速率方程,试求^13 N的半衰期。

考查要点：本题主要考查一级反应的衰变规律及其应用，涉及速率常数计算和半衰期公式的理解。

解题核心思路：

1. 明确一级反应的浓度随时间变化公式，利用已知的衰减比例和时间求出速率常数$k$。
2. 代入半衰期公式，通过$k$计算半衰期$t_{1/2}$。

破题关键点：

• 放射强度与原子个数成正比，可用浓度$c$表示。
• 正确应用公式$\lg \frac{c}{c_0} = -\frac{kt}{2.303}$求$k$，再通过$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$求解半衰期。

步骤1：确定已知条件

• 衰变时间$t = 18.6 \, \text{min}$
• 衰变后浓度比$\frac{c}{c_0} = 0.274$

步骤2：代入一级反应公式求$k$
根据公式：
$\lg \frac{c}{c_0} = -\frac{kt}{2.303}$
整理得：
$k = -\frac{2.303}{t} \lg \frac{c}{c_0}$
代入数据：
$k = -\frac{2.303}{18.6} \lg 0.274 \approx \frac{2.303 \times 0.561}{18.6} \approx 6.96 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}$

步骤3：计算半衰期$t_{1/2}$
根据一级反应半衰期公式：
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
代入$k$的值：
$t_{1/2} = \frac{0.693}{6.96 \times 10^{-2}} \approx 9.96 \, \text{min}$