题目

一对正确啮合的标准直齿圆柱齿轮传动[1]，两轮中心距a=60(mm)，测得乙轮的齿顶圆直径为64(mm)，齿数Z_2=30，试求甲轮的模数m、齿数Z_1，分度圆直径d_1和齿顶圆直径da_1。

一对正确啮合的标准直齿圆柱齿轮传动[1]，两轮中心距$a=60\text{mm}$，测得乙轮的齿顶圆直径为$64\text{mm}$，齿数$Z_2=30$，试求甲轮的模数$m$、齿数$Z_1$，分度圆直径$d_1$和齿顶圆直径$da_1$。

题目解答

答案

根据齿顶圆直径公式 $ d_{a2} = m(Z_2 + 2) $，可得： \[ m = \frac{d_{a2}}{Z_2 + 2} = \frac{64}{32} = 2 \, \text{mm} \] 由中心距公式 $ a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2} $，可得： \[ Z_1 = \frac{2a}{m} - Z_2 = \frac{2 \times 60}{2} - 30 = 30 \] 分度圆直径： \[ d_1 = m Z_1 = 2 \times 30 = 60 \, \text{mm} \] 齿顶圆直径： \[ d_{a1} = m(Z_1 + 2) = 2 \times 32 = 64 \, \text{mm} \] 最终结果： - 模数 $ m = 2 \, \text{mm} $。 - 齿数 $ Z_1 = 30 $。 - 分度圆直径 $ d_1 = 60 \, \text{mm} $。 - 齿顶圆直径 $ d_{a1} = 64 \, \text{mm} $。

解析

本题考查标准直齿圆柱齿轮传动的基本参数计算，解题思路是先根据乙轮的齿顶圆直径和齿数求出模数，再利用中心距公式求出甲轮的齿数，最后根据模数和齿数分别计算甲轮的分度圆直径和齿顶圆直径。

  1. 计算模数 $m$：
    • 对于标准直齿圆柱齿轮，齿顶圆直径公式为 $d_{a}=m(Z + 2)$，其中 $d_{a}$ 为齿顶圆直径，$m$ 为模数，$Z$ 为齿数。
    • 已知乙轮的齿顶圆直径 $d_{a2}=64\text{mm}$，齿数 $Z_2 = 30$，将其代入齿顶圆直径公式可得：
      $m=\frac{d_{a2}}{Z_2 + 2}=\frac{64}{30 + 2}=\frac{64}{32}=2\text{mm}$
  2. 计算甲轮的齿数 $Z_1$：
    • 标准直齿圆柱齿轮传动的中心距公式为 $a=\frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$，其中 $a$ 为两轮中心距，$Z_1$、$Z_2$ 分别为甲、乙两轮的齿数。
    • 已知中心距 $a = 60\text{mm}$，模数 $m = 2\text{mm}$，齿数 $Z_2 = 30$，将其代入中心距公式并求解 $Z_1$：
      $Z_1=\frac{2a}{m}-Z_2=\frac{2\times60}{2}-30=60 - 30=30$
  3. 计算甲轮的分度圆直径 $d_1$：
    • 分度圆直径公式为 $d = mZ$，其中 $d$ 为分度圆直径，$m$ 为模数，$Z$ 为齿数。
    • 已知模数 $m = 2\text{mm}$，甲轮齿数 $Z_1 = 30$，将其代入分度圆直径公式可得：
      $d_1=mZ_1=2\times30 = 60\text{mm}$
  4. 计算甲轮的齿顶圆直径 $d_{a1}$：
    • 再次使用齿顶圆直径公式 $d_{a}=m(Z + 2)$。
    • 已知模数 $m = 2\text{mm}$，甲轮齿数 $Z_1 = 30$，将其代入齿顶圆直径公式可得：
      $d_{a1}=m(Z_1 + 2)=2\times(30 + 2)=2\times32 = 64\text{mm}$