7-1 两端铰支的圆截面受压钢杆(Q235钢),已知 =2m, =0.05m (图710),材料的-|||-弹性模量 =200GPa 试求该压杆的临界力。-|||-F-|||-十题-|||-图 7-10

本题考查的是两端铰支压杆临界力的计算，解题思路是先根据压杆的几何尺寸计算其惯性矩，再计算柔度，判断压杆类型，最后根据相应公式计算临界力。

1. 计算圆截面的惯性矩 $I$：
   对于圆截面，其惯性矩公式为 $I = \frac{\pi d^{4}}{64}$，其中 $d = 0.05m$。
   将 $d = 0.05m$ 代入公式可得：
   $\begin{align*} I&=\frac{\pi\times(0.05)^{4}}{64}\\ &=\frac{\pi\times6.25\times10^{-7}}{64}\\ &\approx3.07\times10^{-8}m^{4} \end{align*}$
2. 计算压杆的柔度 $\lambda$：
   两端铰支压杆的长度系数 $\mu = 1$，柔度公式为 $\lambda=\frac{\mu l}{i}$，其中 $i$ 为惯性半径，对于圆截面 $i = \sqrt{\frac{I}{A}}$，$A=\frac{\pi d^{2}}{4}$。
   先计算 $i$：
   $\begin{align*} i&=\sqrt{\frac{I}{A}}\\ &=\sqrt{\frac{\frac{\pi d^{4}}{64}}{\frac{\pi d^{2}}{4}}}\\ &=\sqrt{\frac{d^{2}}{16}}\\ &=\frac{d}{4} \end{align*}$
   将 $d = 0.05m$ 代入可得 $i=\frac{0.05}{4}=0.0125m$。
   已知 $l = 2m$，$\mu = 1$，则柔度 $\lambda=\frac{\mu l}{i}=\frac{1\times2}{0.0125}=160$。
3. 判断压杆类型并计算临界力 $F_{cr}$：
   对于 Q235 钢，$\lambda_{p}=100$，$\lambda_{s}=61.4$，因为 $\lambda = 160>\lambda_{p}$，所以该压杆为大柔度杆，应采用欧拉公式计算临界力，欧拉公式为 $F_{cr}=\frac{\pi^{2}EI}{(\mu l)^{2}}$。
   已知 $E = 200GPa = 200\times10^{9}Pa$，$I\approx3.07\times10^{-8}m^{4}$，$\mu = 1$，$l = 2m$，代入公式可得：
   $\begin{align*} F_{cr}&=\frac{\pi^{2}\times200\times10^{9}\times3.07\times10^{-8}}{(1\times2)^{2}}\\ &=\frac{\pi^{2}\times200\times3.07\times10}{4}\\ &\approx151000N\\ &=151kN \end{align*}$