题目

有两个中间可由活塞连通烧瓶中,开-|||-始时分别通有0.22mol,20k Pa的O2和-|||-0.8mol,80kPa的N2,置于298K的恒-|||-温水浴里,然后打开活塞。-|||-(1)试计算最终压力-|||-(2)计算该过程的Q,W及 △U. Delta S 和-|||-Delta G-|||-(3)将体系可逆等温地回复到原来状态-|||-的Q和W。-|||-(4)若初始时将O2换为N2,该混合过-|||-程的 Delta S 为多少?

$\begin {aligned} &有两个中间可由活塞连通烧瓶中，开\\&始时分别通有 0.2 mol, 20 kPa 的 O _2 和\\& 0.8 mol , 80 kPa 的 N _2 ，置于 298 K 的恒\\&温水浴里，然后打开活塞。\\ &(1) 试计算最终压力\\ &(2) 计算该过程的 Q, W 及 \Delta U, \Delta S 和\\& \Delta G 。\\ &(3) 将体系可逆等温地回复到原来状态\\&的 Q 和 W 。\\ &(4) 若初始时将 O _2 换为 N _2 ，该混合过\\&程的 \Delta S 为多少? \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &首先，我们可以利用理想气体状态方\\&程来计算初始状态和最终状态下气体\\&的压力： \\ &理想气体状态方程：PV = nRT \\ &其中，P为气体的压力，V为气体的\\&体积，n为气体的摩尔数，R为气体常\\&数，T为气体的绝对温度。 \\ &给定初始状态下的O_2： \\ &n_1 = 0.2 \, {mol}（摩尔数） \\ &P_1 = 20 \, {kPa}（压力） \end {aligned}$ $\begin {aligned} &T_1 = 298 \, {K}（温度） \\ &给定初始状态下的N_2： \\ &n_2 = 0.8 \, {mol}（摩尔数） \\ &P_2 = 80 \, {kPa}（压力） \\ &T_2 = 298 \, {K}（温度） \\ &(1) 最终压力的计算： \\ &在活塞连通之后，两个烧瓶内的气体\\&混合，总摩尔数为 n_{{total}} = n_1 + n_2 =\\& 0.2 \, {mol} + 0.8 \, {mol} = 1 \, {mol}。 \\ &根据绝热过程的终态条件，两个烧瓶\\&内的气体均达到相同的终态温度 T_f 和\\&最终压力 P_f。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &由绝热过程的结果 P_1V_1^{\gamma} = P_fV_f\\&^{\gamma} 和 P_2V_2^{\gamma} = P_fV_f^{\gamma}，其中 \gamma = \frac{C_p}{C_v}\\& 为绝热指数。 \\ &由于两个烧瓶内的气体种类相同（都\\&为单原子分子气体），它们的绝热指\\&数相同，取近似值 \gamma \approx 1.4。 \\ &将理想气体状态方程代入绝热过程的\\&结果，得到： \\ &P_1V_1^{\gamma} = P_fV_f^{\gamma} \implies P_1V_1 = P\\&_fV_f \end {aligned}$ $\begin {aligned} &P_2V_2^{\gamma} = P_fV_f^{\gamma} \implies P_2V_2 = P\\&_fV_f \\ &将初始状态下的V_1和V_2代入，得到\\&： \\ &P_f = \frac{P_1V_1}{V_f} = \frac{P_2V_2}{V_f} \\ &由于摩尔数相同，V_1 = \frac{n_1RT_1}{P_1} 和\\& V_2 = \frac{n_2RT_2}{P_2}，将其代入上式，得\\&到： \\ &P_f = \frac{n_1RT_1}{V_f} = \frac{n_2RT_2}{V_f} \\ &解得最终体积 V_f： \\ &V_f = \frac{n_1RT_1}{P_f} = \frac{n_2RT_2}{P_f} \\ &V_f = \\&\frac{0.2 \, {mol} \times 8.314 \, {J/mol K} \times 298 \, {K}}{P_f}\\& = \\&\frac{0.8 \, {mol} \times 8.314 \, {J/mol K} \times 298 \, {K}}{P_f}\\& \end {aligned}$ $\begin {aligned} &0.2 \times 8.314 \times 298 = 0.8 \times 8.314 \times 298\\& = \frac{0.2 \times 8.314 \times 298}{P_f} = \\&\frac{0.8 \times 8.314 \times 298}{P_f} \\ &P_f = 0.2 \times 8.314 \times 298 = 49.486 \, \\&{kPa} \\ &所以，最终压力 P_f = 49.486 \, {kPa}。 \\ &(2) 计算该过程的 Q, W 及 \Delta U, \Delta S 和\\& \Delta G。 \\ &在该过程中，由于是恒温水浴中的等\\&温过程，可以使用以下公式计算 Q（\\&吸收的热量）和 W（对外界做的功）\\&： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &Q = \Delta U + W \\ &\Delta U = {{\sum}} nC_{v,m}\Delta T \\ &W = -\int_{V_1}^{V_f} P \, dV \\ &其中，C_{v,m}为摩尔定容热容量，\Delta T\\&为温度变化。 \\ &对于单原子分子气体（例如O_2和N_2\\&），摩尔定容热容量 C_{v,m} = \frac{3}{2}R，其\\&中 R 为气体常数。 \\ &(2.1) 计算 Q： \\ &由于等温过程，\Delta T = 0，所以 \Delta U =\\& 0。 \\ &Q = \Delta U + W \implies Q = 0 + W = W \end {aligned}$ $\begin {aligned} &(2.2) 计算 W： \\ &W = -\int_{V_1}^{V_f} P \, dV \\ &该过程是绝热条件下的等温过程，可\\&以使用 PV = {constant} 来代替 P 和 V\\& 之间的关系。 \\ &P_1V_1 = P_fV_f \\ &V_f = \frac{P_1V_1}{P_f} \\ &W = -\int_{V_1}^{V_f} P \, dV = -\int_{V_1}\\&^{V_f} \frac{P_1V_1}{V} \, dV \\ &W = -P_1V_1 \int_{V_1}^{V_f} \frac{1}{V} \, dV = -P\\&_1V_1 \\ & {{\ln}}{\frac{V_f}{V_1}} \\ &将数值代入计算： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &W = -20 \, {kPa} \times \\&\frac{0.2 \, {mol} \times 8.314 \, {J/mol K} \times 298 \, {K}}{49.486 \, {kPa}}\\& {{\ln}}{\frac{49.486 \, {kPa}}{20 \, {kPa}}} \\ &W ≈ -4932.23 \, {J} \\ &(2.3) 计算 \Delta U： \\ &由于等温过程，\Delta T = 0，所以 \Delta U =\\& 0。 \\ &(2.4) 计算 \Delta S： \\ &由于是等温过程，\Delta S = \frac{Q}{T} \\ &\Delta S = \frac{-4932.23 \, {J}}{298 \, {K}} \\ &\Delta S ≈ -16.56 \, {J/K} \\ &(2.5) 计算 \Delta G： \\ &\Delta G = \Delta H - T\Delta S \end {aligned}$ $\begin {aligned} &由于等温过程，\Delta H = Q \\ &\Delta G = -4932.23 \, {J} - 298 \, {K} \times (-1\\&6.56 \, {J/K}) \\ &\Delta G ≈ -4932.23 \, {J} + 4909.88 \, {J} \\ &\Delta G ≈ -22.35 \, {J} \\ &(3) 将体系可逆等温地回复到原来状态\\&的 Q 和 W。 \\ &由于是可逆等温过程，可以使用以下\\&公式计算 Q 和 W： \\ &Q = T\Delta S \\ &W = \Delta G \\ &已知 \Delta S = -16.56 \, {J/K} 和 \Delta G ≈ -2\\&2.35 \, {J}，以及 T = 298 \, {K}，代入计算\\&： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &Q = 298 \, {K} \times (-16.56 \, {J/K}) ≈ -4932\\&.88 \, {J} \\ &W = -22.35 \, {J} \\ &(4) 若初始时将 O _2 换为 N _2，该混合过\\&程的 \Delta S 为多少？ \\ &该过程涉及的是不可逆过程，我们无\\&法直接使用理想气体状态方程来计算\\&。 \\ &但是可以使用以下公式来计算混合过\\&程的 \Delta S： \\ &\Delta S_{{mix}} = -R{{\sum}}_{i}n_i{{\ln}}{\frac{n_i}{n_{{total}}}} \\ &其中，n_i为各组分的摩尔数，n\\&_{{total}}为总的摩尔数。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &在这种情况下，n_{{total}} = n_1 + n_2 = 0.\\&2 \, {mol} + 0.8 \, {mol} = 1 \, {mol}。 \\ &\Delta S_{{mix}} = -8.314 \, {J/mol K} \times (0.2 \, {mol} \\&{{\ln}}{\frac{0.2 \, {mol}}{1 \, {mol}}} + 0.8 \, {mol} {{\ln}}{\frac{0.8 \, {mol}}{1 \, {mol}}}) \\ &\Delta S_{{mix}} = -8.314 \, {J/mol K} \times (0.2 \, {mol}\\& {{\ln}}{0.2} + 0.8 \, {mol} {{\ln}}{0.8}) \\ &\Delta S_{{mix}} ≈ -8.314 \, {J/mol K} \times (-0.2231 \\&- 0.0915) \\ &\Delta S_{{mix}} ≈ 2.83 \, {J/K} \end {aligned}$ $\begin {aligned} &所以，当初始时将 O_2 换为 N_2 时，该\\&混合过程的 \Delta S 约为 2.83 \, {J/K}。 \end {aligned}$