3-4 图 3-29a 所示机械平移系统,当系统受到 F(t)=10N 的恒力作用时,x(t)的-|||-变化如图 3-29b 所示。试确定系统参量m、f和k。-|||-∠ ∠ x(t)/m↑-|||-k 0.08-|||-F(t) 0.06-|||-m-|||-x(t)-|||-0 3 t/s-|||-a) b)

本题主要考察机械平移系统在恒力作用下的响应特性，通过分析阶跃响应曲线确定系统参数$m$（质量）、$f$（阻尼系数）和$k$（弹簧刚度），核心思路如下：

1. 系统建模与响应形式

机械机械平移系统的动力学方程为：
$m\ddot{x} + f\dot{x} + kx = F(t)$ ]
当$F(t)=10\,\text{N}$（恒力）时，系统响应为二阶欠阻尼阶跃响应（曲线无发散且振荡收敛，见图3-29b），其通解形式为：
$x(t) = x_{\text{稳态}} + \text{瞬态响应}$
稳态时$\dot{x}=\ddot{x}=0$，故稳态位移$x_{\text{ss}} = \frac{F}{k}$。

2. 关键参数提取

从图3-29b图中读取：

• 最大超调量$M_p$：$x(t)$的第一个峰值为$0.08\,\text{m}$，稳态值$x_{\text{ss}}=0.06\,\text{m}$，故：
  $M_p = \frac{0.08 - 0.06}{0.06} \times 100\%} \approx 33.3\%$
• 超调时间$t_p$：第一个峰值对应的时间$t_p \approx 0.3\,\text{s}$。
• **阻尼比$\zeta$与$\xi)制度**：由\(M_p = e^{-\xi\pi/\sqrt{1-\xi^2}}$，解得$\xi \xi \approx 0.3$（欠阻尼）。
• 无阻尼固有频率$\omega_n$：由$t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}$，代入$\xi=0.3$、$t_p=0.3\,\text{s}$，得$\omega_n \approx 11.2\,\text{rad/s}$。

3. 参数计算

• 弹簧刚度$k$：由$x_{\textssss} **特点**：\(x_{\text{ss}}=\frac{F}{k}\Rightarrow k=\frac{F}{x_{\text{ss}}}=\frac{10}{0.06}\approx166.7\,\text{N/m}$。
• 质量$m$：由$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow m=\frac{k}{\omega_n^2}\approx\frac{166.7}{(11.2)^2}\approx135.3\,\text{kg}$。
• **阻尼系数$f**：由\(\zeta=\frac{f}{2m\omega_n}\Rightarrow f=2m\zeta\omega_n\approx2\times135.3\times0.3\times11.2\approx98.8\,\text{N·s/m}$。