一直径为的圆截面梁，另一内外直径之比的圆环截面梁，二梁的长度、材料及受力分别相同。若使二梁的最大正应力相同，则圆截面梁和圆环截面梁的重量之比=____________。D1D1D1

步骤 1：确定圆截面梁和圆环截面梁的截面惯性矩
对于圆截面梁，其截面惯性矩为：
\[ I_{1} = \frac{\pi D_{1}^{4}}{64} \]
对于圆环截面梁，其截面惯性矩为：
\[ I_{2} = \frac{\pi (D_{2}^{4} - d_{2}^{4})}{64} \]
其中，$D_{2}$为圆环外径，$d_{2}$为圆环内径，且有$a_{2} = \frac{d_{2}}{D_{2}}$。

步骤 2：确定最大正应力
最大正应力由公式：
\[ \sigma_{max} = \frac{M}{W} \]
其中，$M$为弯矩，$W$为截面抵抗矩。对于圆截面梁，其截面抵抗矩为：
\[ W_{1} = \frac{\pi D_{1}^{3}}{32} \]
对于圆环截面梁，其截面抵抗矩为：
\[ W_{2} = \frac{\pi (D_{2}^{3} - d_{2}^{3})}{32} \]

步骤 3：确定重量比
由于两梁的长度、材料及受力相同，且最大正应力相同，因此有：
\[ \frac{W_{1}}{W_{2}} = \frac{D_{1}^{3}}{D_{2}^{3} - d_{2}^{3}} \]
由于重量与截面面积成正比，因此重量比等于截面面积比，即：
\[ \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{D_{1}^{2}}{D_{2}^{2} - d_{2}^{2}} \]
将$a_{2} = \frac{d_{2}}{D_{2}}$代入上式，得：
\[ \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{D_{1}^{2}}{D_{2}^{2} - a_{2}^{2}D_{2}^{2}} = \frac{D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}(1 - a_{2}^{2})} \]
由于$D_{1} = D_{2}$，因此：
\[ \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{1}{1 - a_{2}^{2}} \]
将$a_{2} = 0.9$代入上式，得：
\[ \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{1}{1 - 0.9^{2}} = \frac{1}{1 - 0.81} = \frac{1}{0.19} = 5.263 \]