答题（共4题，40.0分）(10.0分) 求sqrt[3](-1).

为了求解 $\sqrt[3]{-1}$，我们需要找到一个数 $x$，使得 $x^3 = -1$。我们可以通过考虑复数来解决这个问题。复数可以表示为 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 是模长，$\theta$ 是辐角。 首先，将 $-1$ 写成复数形式。由于 $-1$ 在实数轴的负半轴上，它的模长 $r$ 是 1，辐角 $\theta$ 是 $\pi$（或 $3\pi, 5\pi, \ldots$，但通常我们取主辐角，即 $\pi$）。因此，我们可以写： \[ -1 = e^{i\pi} \] 现在，我们需要求 $\sqrt[3]{-1}$，即找到 $x$ 使得： \[ x^3 = e^{i\pi} \] 如果设 $x = re^{i\phi}$，那么： \[ (re^{i\phi})^3 = r^3 e^{i3\phi} \] 为了使 $r^3 e^{i3\phi} = e^{i\pi}$，必须有 $r^3 = 1$ 和 $3\phi = \pi + 2k\pi$，其中 $k$ 是整数。由于 $r$ 是模长，它必须是正实数，所以 $r = 1$。对于 $\phi$，我们解： \[ 3\phi = \pi + 2k\pi \implies \phi = \frac{\pi + 2k\pi}{3} \] 取 $k = 0, 1, 2$，我们得到三个不同的解： \[ \phi_0 = \frac{\pi}{3}, \quad \phi_1 = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \pi, \quad \phi_2 = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \] 因此，三个解是： \[ x_0 = e^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ x_1 = e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 \] \[ x_2 = e^{i5\pi/3} = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \] 所以，$\sqrt[3]{-1}$ 的三个值是： \[ \boxed{-1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i} \]