3-13 习题 3-1 中所示的轴,材料为钢,其许用切-|||-应力 [ 7] =20MPa 切变模量 =80G(P)_(a) ,许可单位长度-|||-扭转角 [ varphi '] =0.25(0)/m-|||-)/m。试按强度及刚度条件选择-|||-圆轴的直径。

步骤 1：计算强度条件下的直径
根据强度条件，轴的许用切应力 $[ \tau ] = 20MPa$，轴的扭矩 $T$ 可以通过强度条件公式计算出直径 $d$。强度条件公式为：
$$
\tau = \frac{T r}{J} \leq [ \tau ]
$$
其中，$r$ 是圆轴的半径，$J$ 是圆轴的极惯性矩，对于圆轴，$J = \frac{\pi d^4}{32}$。因此，强度条件可以写为：
$$
\frac{T d / 2}{\pi d^4 / 32} \leq [ \tau ]
$$
简化后得到：
$$
\frac{16 T}{\pi d^3} \leq [ \tau ]
$$
解出 $d$：
$$
d \geq \left( \frac{16 T}{\pi [ \tau ]} \right)^{1/3}
$$
步骤 2：计算刚度条件下的直径
根据刚度条件，轴的许可单位长度扭转角 $[ \varphi' ] = 0.25(0)/m$，轴的扭矩 $T$ 可以通过刚度条件公式计算出直径 $d$。刚度条件公式为：
$$
\varphi' = \frac{T}{G J} \leq [ \varphi' ]
$$
其中，$G$ 是切变模量，$J$ 是圆轴的极惯性矩，对于圆轴，$J = \frac{\pi d^4}{32}$。因此，刚度条件可以写为：
$$
\frac{T}{G \pi d^4 / 32} \leq [ \varphi' ]
$$
简化后得到：
$$
\frac{32 T}{G \pi d^4} \leq [ \varphi' ]
$$
解出 $d$：
$$
d \geq \left( \frac{32 T}{G \pi [ \varphi' ]} \right)^{1/4}
$$
步骤 3：选择满足强度和刚度条件的直径
根据强度条件和刚度条件，选择满足条件的最小直径。如果强度条件下的直径大于刚度条件下的直径，则选择强度条件下的直径；反之，则选择刚度条件下的直径。