例5 丙酮（1），乙腈（2）和硝基甲烷（3）体系可按完全理想系处理，各组分的饱和蒸汽压方程ln p_(1)^*=14.5463-(2940.46)/(t+237.22)ln p_(2)^*=14.2724-(2945.47)/(t+224.00)ln p_(3)^*=14.2043-(2972.64)/(t+209.00)式中蒸汽压单位为kPa，温度单位为℃。（1）已知t=70℃ y₁=0.50 y₂=0.30 y₃=0.20 求P和x₁.（2）已知P=80kPa x₁=0.30 x₂=0.45 x₃=0.25 求T和y₁.计算至|Delta t|leq0.1^circC

问题解析

背景知识

题目中给出的是一个三元理想溶液的气液平衡问题。根据拉乌尔定律，理想溶液中各组分的气相分压与其在液相中的摩尔分数成正比。具体来说，对于组分 $i$，其气相分压 $p_i$ 可以表示为：
$p_i = x_i p_i^*$
其中 $x_i$ 是组分 $i$ 在液相中的摩尔分数，$p_i^*$ 是组分 $i$ 在相同温度下的饱和蒸汽压。

总压 $P$ 可以表示为各组分气相分压的和：
$P = \sum_{i=1}^3 p_i = \sum_{i=1}^3 x_i p_i^*$

气相中各组分的摩尔分数 $y_i$ 可以表示为：
$y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i p_i^*}{P}$

问题（1）解析

已知温度 $t = 70^\circ C$，气相中各组分的摩尔分数 $y_1 = 0.50$，$y_2 = 0.30$，$y_3 = 0.20$，求总压 $P$ 和液相中组分1的摩尔分数 $x_1$。

1. 计算各组分的饱和蒸汽压 $p_i^*$：
   $\ln p_1^* = 14.5463 - \frac{2940.46}{70 + 237.22} = 14.5463 - \frac{2940.46}{307.22} \approx 4.007$
   $p_1^* = e^{4.007} \approx 55.07 \text{ kPa}$

   $\ln p_2^* = 14.2724 - \frac{2945.47}{70 + 224.00} = 14.2724 - \frac{2945.47}{294.00} \approx 3.847$
   $p_2^* = e^{3.847} \approx 47.00 \text{ kPa}$

   $\ln p_3^* = 14.2043 - \frac{2972.64}{70 + 209.00} = 14.2043 - \frac{2972.64}{279.00} \approx 3.677$
   $p_3^* = e^{3.677} \approx 39.60 \text{ kPa}$

2. 利用气相摩尔分数和总压的关系求总压 $P$：
   $y_1 = \frac{x_1 p_1^*}{P} \implies 0.50 = \frac{x_1 \cdot 55.07}{P}$
   $y_2 = \frac{x_2 p_2^*}{P} \implies 0.30 = \frac{x_2 \cdot 47.00}{P}$
   $y_3 = \frac{x_3 p_3^*}{P} \implies 0.20 = \frac{x_3 \cdot 39.60}{P}$

   由于 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$，可以解出 $x_1$、$x_2$ 和 $x_3$：
   $x_1 = \frac{0.50P}{55.07}$
   $x_2 = \frac{0.30P}{47.00}$
   $x_3 = \frac{0.20P}{39.60}$

   代入 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$：
   $\frac{0.50P}{55.07} + \frac{0.30P}{47.00} + \frac{0.20P}{39.60} = 1$
   $P \left( \frac{0.50}{55.07} + \frac{0.30}{47.00} + \frac{0.20}{39.60} \right) = 1$
   $P \left( 0.00908 + 0.00638 + 0.00505 \right) = 1$
   $P \cdot 0.02051 = 1$
   $P \approx 48.76 \text{ kPa}$

3. 求 $x_1$：
   $x_1 = \frac{0.50 \cdot 48.76}{55.07} \approx 0.443$

问题（2）解析

已知总压 $P = 80 \text{ kPa}$，液相中各组分的摩尔分数 $x_1 = 0.30$，$x_2 = 0.45$，$x_3 = 0.25$，求温度 $T$ 和气相中组分1的摩尔分数 $y_1$。

1. 利用总压和液相摩尔分数的关系求温度 $T$：
   $P = x_1 p_1^* + x_2 p_2^* + x_3 p_3^*$
   $80 = 0.30 p_1^* + 0.45 p_2^* + 0.25 p_3^*$

   代入饱和蒸汽压方程：
   $p_1^* = e^{14.5463 - \frac{2940.46}{t + 237.22}}$
   $p_2^* = e^{14.2724 - \frac{2945.47}{t + 224.00}}$
   $p_3^* = e^{14.2043 - \frac{2972.64}{t + 209.00}}$

   通过迭代法求解温度 $t$，使得：
   $80 = 0.30 e^{14.5463 - \frac{2940.46}{t + 237.22}} + 0.45 e^{14.2724 - \frac{2945.47}{t + 224.00}} + 0.25 e^{14.2043 - \frac{2972.64}{t + 209.00}}$

   通过数值方法（如二分法或牛顿法）求解，得到 $t \approx 65.5^\circ C$。

2. 求气相中组分1的摩尔分数 $y_1$：
   $y_1 = \frac{x_1 p_1^*}{P}$
   代入 $t = 65.5^\circ C$：
   $p_1^* = e^{14.5463 - \frac{2940.46}{65.5 + 237.22}} \approx 69.97 \text{ kPa}$
   $y_1 = \frac{0.30 \cdot 69.97}{80} \approx 0.262$

最终答案

1. 已知 $t = 70^\circ C$，$y_1 = 0.50$，$y_2 = 0.30$，$y_3 = 0.20$，求 $P$ 和 $x_1$：
   $P \approx 48.76 \text{ kPa}$
   $x_1 \approx 0.443$

2. **已知 (P = 80 \