证明立方晶体的晶向[hkl]垂直于晶面（hkl）。

步骤 1：定义立方晶体的晶向和晶面
在立方晶体中，晶向[hkl]和晶面（hkl）的定义如下：
- 晶向[hkl]：表示晶体中沿着晶格点阵方向的直线，其中h、k、l是整数。
- 晶面（hkl）：表示晶体中平行于晶格点阵平面的平面，其中h、k、l是整数。

步骤 2：确定晶向和晶面的矢量表示
- 晶向[hkl]的矢量表示为：$R = h\mathbf{a}_1 + k\mathbf{a}_2 + l\mathbf{a}_3$，其中$\mathbf{a}_1$、$\mathbf{a}_2$、$\mathbf{a}_3$是晶格基矢。
- 晶面（hkl）的法向矢量表示为：$G = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3$，其中$\mathbf{b}_1$、$\mathbf{b}_2$、$\mathbf{b}_3$是倒格基矢。

步骤 3：证明晶向和晶面的垂直关系
- 在立方晶体中，晶格基矢和倒格基矢满足关系：$\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2\pi \delta_{ij}$，其中$\delta_{ij}$是克罗内克符号。
- 因此，晶向和晶面的矢量表示可以写为：$R = ha\mathbf{i} + ka\mathbf{j} + la\mathbf{k}$，$G = \frac{2\pi}{a}(h\mathbf{i} + k\mathbf{j} + l\mathbf{k})$。
- 由于$G = \frac{2\pi}{a^2}R$，所以矢量$R$平行于晶面（hkl）的法向矢量$G$。
- 因此，晶向[hkl]垂直于晶面（hkl）。