题目
图示等直圆杆,已知外力偶矩 _(A)=2.99kNcdot m, _(B)=7.20kNcdot m _(c)=4.21kNcdot m 许-|||-用切应力 [ z] =70MPa, 许可单位长度扭转角 [ varphi '] =1((d)_(2))/m, 切变模量 =80GPa 试确定该轴-|||-的直径d。-|||-MA MB Mc-|||-A B C-|||-1.0m 0.5m
题目解答
答案
解析
步骤 1：绘制扭矩图
根据题目中给出的外力偶矩，绘制扭矩图。扭矩图显示了各段的扭矩值，其中最大扭矩出现在BC段，为${M}_{c}=4.21kN\cdot m$。
步骤 2：考虑强度条件
根据强度条件，最大扭矩处的切应力不应超过许用切应力。切应力公式为$\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$，其中$T$为扭矩，$d$为直径。将最大扭矩和许用切应力代入公式，求解直径$d$。
$$
\tau_{max} = \frac{16 \times 4.21 \times 10^3}{\pi d^3} \leq 70 \times 10^6
$$
解得：
$$
d \geq \sqrt[3]{\frac{16 \times 4.21 \times 10^3}{70 \times 10^6 \times \pi}} = 0.0674m = 67.4mm
$$
步骤 3：考虑变形条件
根据变形条件，最大扭矩处的单位长度扭转角不应超过许可单位长度扭转角。扭转角公式为$\varphi = \frac{Tl}{GIp}$，其中$T$为扭矩，$l$为长度，$G$为切变模量，$Ip$为极惯性矩。将最大扭矩、长度、切变模量和许可单位长度扭转角代入公式，求解直径$d$。
$$
\frac{Tl}{GIp} \leq 1
$$
$$
\frac{4.21 \times 10^3 \times 0.5}{80 \times 10^9 \times \frac{\pi d^4}{32}} \leq 1
$$
解得：
$$
d \geq \sqrt[4]{\frac{4.21 \times 10^3 \times 0.5 \times 32}{80 \times 10^9 \times \pi}} = 0.0744m = 74.4mm
$$
步骤 4：综合考虑强度和变形条件
综合考虑强度和变形条件，取直径$d$的较大值，即$d \geq 74.4mm$。
根据题目中给出的外力偶矩，绘制扭矩图。扭矩图显示了各段的扭矩值，其中最大扭矩出现在BC段，为${M}_{c}=4.21kN\cdot m$。
步骤 2：考虑强度条件
根据强度条件，最大扭矩处的切应力不应超过许用切应力。切应力公式为$\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$，其中$T$为扭矩，$d$为直径。将最大扭矩和许用切应力代入公式，求解直径$d$。
$$
\tau_{max} = \frac{16 \times 4.21 \times 10^3}{\pi d^3} \leq 70 \times 10^6
$$
解得：
$$
d \geq \sqrt[3]{\frac{16 \times 4.21 \times 10^3}{70 \times 10^6 \times \pi}} = 0.0674m = 67.4mm
$$
步骤 3：考虑变形条件
根据变形条件，最大扭矩处的单位长度扭转角不应超过许可单位长度扭转角。扭转角公式为$\varphi = \frac{Tl}{GIp}$，其中$T$为扭矩，$l$为长度，$G$为切变模量，$Ip$为极惯性矩。将最大扭矩、长度、切变模量和许可单位长度扭转角代入公式，求解直径$d$。
$$
\frac{Tl}{GIp} \leq 1
$$
$$
\frac{4.21 \times 10^3 \times 0.5}{80 \times 10^9 \times \frac{\pi d^4}{32}} \leq 1
$$
解得：
$$
d \geq \sqrt[4]{\frac{4.21 \times 10^3 \times 0.5 \times 32}{80 \times 10^9 \times \pi}} = 0.0744m = 74.4mm
$$
步骤 4：综合考虑强度和变形条件
综合考虑强度和变形条件，取直径$d$的较大值，即$d \geq 74.4mm$。