推导出克拉珀龙方程和理想气体的蒸汽压方程

步骤 1：定义化学势相等
设(T,p)和(T+dT,p+dT)是两相平衡曲线上临近的两点,在这两点上,两相的化学势都相等:
${\mu }^{\alpha }(T,p)={\mu }^{\beta }(T,p)$
${\mu }^{\alpha }(T+dT,p+dp)={\mu }^{\beta }(T+dT,p+dp)$
步骤 2：化学势变化相等
两式相减得 ${d\mu }^{\alpha }={d\mu }^{\beta }$ (1)
表示当沿着平衡曲线由(T,p)变到(T+dT,p+dT)时,两相的化学势的变化相等。
步骤 3：化学势的全微分
化学势的全微分为
$d\mu =-{S}_{m}dT+{V}_{m}dr$
(2)
分别表示摩尔熵和摩尔体积,将(2)式代入(1)式得
$-{\int }_{m}^{\alpha }dT+{v}_{m}^{\alpha }dp=-{\int }_{m}^{\beta }dT+{v}_{m}^{\beta }dp$
步骤 4：克拉珀龙方程
或 Ap/Ar=50/8-10/ =50/10=10/48 (3)
以L表示1mol 物质由相转变到相所吸收的相变潜热,因为相变时物质的温度不变,则
$L=T({S}_{m}^{\beta }-{{S}_{m}}^{\alpha })$
(4)
将(4)式代入(3)式可得
$\dfrac {dp}{dT}=\dfrac {L}{T({V}_{m}^{\beta }-{V}_{m}})$
(5)
即为克拉珀龙方程;
步骤 5：理想气体的蒸汽压方程
在(5)式中略去,并把气相看作理想气体$p{v}_{m}^{\beta }=RT$,则(5)式可化简为
$\dfrac {1}{p}\dfrac {dp}{dT}=\dfrac {L}{R{T}^{2}}$
(6)
如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关,将(6)式积分可得
$\ln p=-\dfrac {L}{RT}+A$
(7)
即为蒸汽压方程的近似表达式。