例7.8 变截面杆受力如图7.14所示。已知横截面积 _(1)=400(mm)^2 ,_(2)=-|||-800mm^2,杆长 l=200mm _(1)=40kN _(2)=60kN _(3)=20kN ,材料弹性模量 E=-|||-200GPa。试求杆件的总伸长。-|||-1 F2 2-|||-F1 square F3-|||-1-|||-图7.14

考查要点：本题主要考查变截面杆在轴向外力作用下的总变形计算，涉及轴力分析和胡克定律的应用。

解题核心思路：

1. 分段计算轴力：根据外力分布，确定杆件各段的轴力大小和方向。
2. 分段计算变形：利用胡克定律 $\Delta L = \frac{F_N \cdot L}{E \cdot A}$，分别计算各段的伸长或缩短量。
3. 叠加总变形：将各段变形代数相加，得到杆件总变形。

破题关键点：

• 轴力方向：注意轴力的正负号，拉伸为正，压缩为负。
• 单位统一：弹性模量 $E$、截面积 $A$、长度 $L$ 的单位需与力 $F_N$ 的单位匹配。

步骤1：计算各段轴力

1. 第一段（截面积 $A_1$）
   受外力 $F_1 = 40\ \text{kN}$ 的拉力作用，轴力为：
   $F_{N1} = -F_1 = -40\ \text{kN}$
   （负号表示压缩方向）

2. 第二段（截面积 $A_2$）
   受外力 $F_3 = 20\ \text{kN}$ 的拉力作用，轴力为：
   $F_{N2} = F_3 = 20\ \text{kN}$

步骤2：计算各段变形

1. 第一段变形
   代入胡克定律：
   $\Delta L_1 = \frac{F_{N1} \cdot L_1}{E \cdot A_1} = \frac{(-40 \times 10^3) \cdot 200}{200 \times 10^9 \cdot 400 \times 10^{-6}} = -0.1\ \text{mm}$
   （负号表示缩短）

2. 第二段变形
   代入胡克定律：
   $\Delta L_2 = \frac{F_{N2} \cdot L_2}{E \cdot A_2} = \frac{20 \times 10^3 \cdot 200}{200 \times 10^9 \cdot 800 \times 10^{-6}} = 0.025\ \text{mm}$
   （正号表示伸长）

步骤3：计算总变形

总变形为两段变形代数和：
$\Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 = -0.1 + 0.025 = -0.075\ \text{mm}$
（负号表示整体缩短）