1-3 某信源符号集由字母A、B、C、D组成，若传输每一个字母用二进制[1]码元[2]编码“00”代替A，“01”代替B，“10”代替C，“11”代替D，每个二进制码元宽度为5ms。(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；(2)若每个字母出现的可能性分别为P_(A)=(1)/(5),P_(B)=(1)/(4),P_(C)=(1)/(4),P_(D)=(3)/(10)试计算传输的平均信息速率。

问题解析

(1) 等概率情况下的平均信息速率

1. 确定每个字母的概率：

   • 由于字母A、B、C、D等概率出现，因此每个字母的概率为：
     $P_A = P_B = P_C = P_D = \frac{1}{4}$

2. 计算每个字母的信息量：

   • 信息量的计算公式为：
     $I = -\log_2(P)$
   • 对于每个字母，信息量为：
     $I_A = I_B = I_C = I_D = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \text{ 比特}$

3. 计算平均信息量：

   • 由于每个字母的信息量相同，平均信息量为：
     $H = \sum_{i} P_i I_i = 4 \times \left(\frac{1}{4} \times 2\right) = 2 \text{ 比特/字母}$

4. 计算传输速率：

   • 每个字母用2个二进制码元表示，每个码元的宽度为5ms，因此每个字母的传输时间为：
     $T = 2 \times 5 \text{ ms} = 10 \text{ ms}$
   • 传输速率为：
     $R = \frac{1}{T} = \frac{1}{10 \text{ ms}} = 100 \text{ 字母/秒}$
   • 平均信息速率为：
     $R_{\text{信息}} = R \times H = 100 \text{ 字母/秒} \times 2 \text{ 比特/字母} = 200 \text{ 比特/秒}$

(2) 不等概率情况下的平均信息速率

1. 确定每个字母的概率：

   • 给定的概率为：
     $P_A = \frac{1}{5}, \quad P_B = \frac{1}{4}, \quad P_C = \frac{1}{4}, \quad P_D = \frac{3}{10}$

2. 计算每个字母的信息量：

   • 信息量的计算公式为：
     $I = -\log_2(P)$
   • 对于每个字母，信息量为：
     $I_A = -\log_2\left(\frac{1}{5}\right) \approx 2.3219 \text{ 比特}$
     $I_B = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \text{ 比特}$
     $I_C = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \text{ 比特}$
     $I_D = -\log_2\left(\frac{3}{10}\right) \approx 1.7369 \text{ 比特}$

3. 计算平均信息量：

   • 平均信息量为：
     $H = \sum_{i} P_i I_i = P_A I_A + P_B I_B + P_C I_C + P_D I_D$
     $H = \left(\frac{1}{5} \times 2.3219\right) + \left(\frac{1}{4} \times 2\right) + \left(\frac{1}{4} \times 2\right) + \left(\frac{3}{10} \times 1.7369\right)$
     $H \approx 0.4644 + 0.5 + 0.5 + 0.5211 = 1.9855 \text{ 比特/字母}$

4. 计算传输速率：

   • 每个字母用2个二进制码元表示，每个码元的宽度为5ms，因此每个字母的传输时间为：
     $T = 2 \times 5 \text{ ms} = 10 \text{ ms}$
   • 传输速率为：
     $R = \frac{1}{T} = \frac{1}{10 \text{ ms}} = 100 \text{ 字母/秒}$
   • 平均信息速率为：
     $R_{\text{信息}} = R \times H = 100 \text{ 字母/秒} \times 1.9855 \text{ 比特/字母} \approx 198.55 \text{ 比特/秒}$

最终答案

1. 等概率情况下的平均信息速率：
   $\boxed{200 \text{ 比特/秒}}$

2. 不等概率情况下的平均信息速率：
   $\boxed{198.55 \text{ 比特/秒}}$