题目

如何快速地求出能量最低的光谱支项？写出下列原子的能量最低的光谱支项的符号。(1) Si (2) Mg (3) Br (4) S (5) N

如何快速地求出能量最低的光谱支项？写出下列原子的能量最低的光谱支项的符号。

(1) Si (2) Mg (3) Br (4) S (5) N

题目解答

答案

  1. Si：$ 3p^2 $，$ S = 1 $，$ L = 1 $，$ J = 0 $，基态为 $ ^3P_0 $。
  2. Mg：$ 3s^2 $，$ S = 0 $，$ L = 0 $，$ J = 0 $，基态为 $ ^1S_0 $。
  3. Br：$ 4p^5 $，$ S = \frac{1}{2} $，$ L = 1 $，$ J = \frac{3}{2} $，基态为 $ ^2P_{3/2} $。
  4. S：$ 3p^4 $，$ S = 1 $，$ L = 1 $，$ J = 2 $，基态为 $ ^3P_2 $。
  5. N：$ 2p^3 $，$ S = \frac{3}{2} $，$ L = 0 $，$ J = \frac{3}{2} $，基态为 $ ^4S_{3/2} $。

最终结果：
(1) Si：$ ^3P_0 $
(2) Mg：$ ^1S_0 $
(3) Br：$ ^2P_{3/2} $
(4) S：$ ^3P_2 $
(5) N：$ ^4S_{3/2} $

解析

本题考查原子光谱支项的相关知识，解题的关键在于根据原子的电子构型，运用洪特规则和光谱支项的计算方法来确定能量最低的光谱支项。具体步骤如下：

  1. 确定未成对电子数：根据原子的电子构型，找出未成对电子的数量，进而计算自旋量子数 $S$。自旋量子数 $S$ 与未成对电子数 $n$ 的关系为 $S=\frac{n}{2}$。
  2. 计算轨道角量子数 $L$：根据各电子轨道的角量子数 $l$（$s$ 轨道 $l = 0$，$p$ 轨道 $l = 1$，$d$ 轨道 $l = 2$ 等），通过矢量相加的方法计算 $L$。对于相同轨道上的电子，$L$ 的取值为 $|l_1 - l_2|$ 到 $l_1 + l_2$ 之间的整数。
  3. 确定总角量子数 $J$：根据洪特规则，当电子亚层未半充满时，$J = |L - S|$；当电子亚层半充满或全充满时，$J = L + S$。
  4. 写出光谱支项符号：光谱支项的一般形式为 $^{2S + 1}L_J$，其中 $2S + 1$ 为自旋多重度，$L$ 用大写字母表示（$L = 0$ 用 $S$ 表示，$L = 1$ 用 $P$ 表示，$L = 2$ 用 $D$ 表示等），$J$ 为总角量子数。

下面对各原子进行具体分析：

  1. Si（硅）
    • 电子构型为 $1s^22s^22p^63s^23p^2$，未成对电子数 $n = 2$，则自旋量子数 $S=\frac{n}{2}=\frac{2}{2}=1$。
    • $3p$ 轨道上有 2 个电子，$l = 1$，$L$ 的取值为 $|1 - 1| = 0$ 到 $1 + 1 = 2$ 之间的整数，根据洪特规则，$L$ 取最大值 $1$。
    • $3p$ 轨道未半充满，$J = |L - S|=|1 - 1| = 0$。
    • 自旋多重度 $2S + 1 = 2\times1 + 1 = 3$，$L = 1$ 用 $P$ 表示，所以光谱支项为 $^3P_0$。
  2. Mg（镁）
    • 电子构型为 $1s^22s^22p^63s^2$，未成对电子数 $n = 0$，则自旋量子数 $S=\frac{n}{2}=\frac{0}{2}=0$。
    • $3s$ 轨道上有 2 个电子，$l = 0$，所以 $L = 0$。
    • $J = L + S = 0 + 0 = 0$。
    • 自旋多重度 $2S + 1 = 2\times0 + 1 = 1$，$L = 0$ 用 $S$ 表示，所以光谱支项为 $^1S_0$。
  3. Br（溴）
    • 电子构型为 $1s^22s^22p^63s^23p^63d^{10}4s^24p^5$，未成对电子数 $n = 1$，则自旋量子数 $S=\frac{n}{2}=\frac{1}{2}$。
    • $4p$ 轨道上有 5 个电子，$l = 1$，$L$ 的取值为 $|1 - 1| = 0$ 到 $1 + 1 = 2$ 之间的整数，根据洪特规则，$L$ 取最大值 $1$。
    • $4p$ 轨道未半充满，$J = |L - S|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，但这里我们可以根据洪特规则的另一种理解，对于 $p^5$ 电子构型，相当于 $p$ 轨道缺一个电子，可看作 $p^1$ 电子构型的情况，此时 $J = L + S = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
    • 自旋多重度 $2S + 1 = 2\times\frac{1}{2}+ 1 = 2$，$L = 1$ 用 $P$ 表示，所以光谱支项为 $^2P_{3/2}$。
  4. S（硫）
    • 电子构型为 $1s^22s^22p^63s^23p^4$，未成对电子数 $n = 2$，则自旋量子数 $S=\frac{n}{2}=\frac{2}{2}=1$。
    • $3p$ 轨道上有 4 个电子，$l = 1$，$L$ 的取值为 $|1 - 1| = 0$ 到 $1 + 1 = 2$ 之间的整数，根据洪特规则，$L$ 取最大值 $1$。
    • $3p$ 轨道未半充满，$J = L + S = 1 + 1 = 2$。
    • 自旋多重度 $2S + 1 = 2\times1 + 1 = 3$，$L = 1$ 用 $P$ 表示，所以光谱支项为 $^3P_2$。
  5. N（氮）
    • 电子构型为 $1s^22s^22p^3$，未成对电子数 $n = 3$，则自旋量子数 $S=\frac{n}{2}=\frac{3}{2}$。
    • $2p$ 轨道上有 3 个电子，$l = 1$，$L$ 的取值为 $|1 - 1| = 0$ 到 $1 + 1 = 2$ 之间的整数，根据洪特规则，$L$ 取最大值 $2$，但这里我们可以根据洪特规则，$p^3$ 电子构型时，$L$ 取 $0$（因为三个电子分别占据不同的 $p$ 轨道，轨道角动量相互抵消）。
    • $2p$ 轨道半充满，$J = L + S = 0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
    • 自旋多重度 $2S + 1 = 2\times\frac{3}{2}+ 1 = 4$，$L = 0$ 用 $S$ 表示，所以光谱支项为 $^4S_{3/2}$。