题目
在车床加工中用圆柱形铣刀加工一个弧长不大的椭圆形工件，该工件外部所在椭圆的参数方程为,现需要沿着工件外部所在椭圆的切线方对其进行加工打磨,求该椭圆形工件外部在处的切线方程
在车床加工中用圆柱形铣刀加工一个弧长不大的椭圆形工件，该工件外部所在椭圆的参数方程为
,现需要沿着工件外部所在椭圆的切线方对其进行加工打磨,求该椭圆形工件外部在
处的切线方程
题目解答
答案
分别对
求导得到
，
求出
，并将代入到
中得出切线斜率为
将代入到参数方程内可得出点为
化简为
故为
故选C
解析
步骤 1：求导
对参数方程$x=3\cos t$和$y=4\sin t$分别求导，得到$dx=-3\sin t$和$dy=4\cos t$。
步骤 2：求切线斜率
切线斜率$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\cos t}{-3\sin t}$，将$t=\dfrac{\pi}{4}$代入，得到$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\cos \dfrac{\pi}{4}}{-3\sin \dfrac{\pi}{4}}=-\dfrac{4}{3}$。
步骤 3：求切点坐标
将$t=\dfrac{\pi}{4}$代入参数方程$x=3\cos t$和$y=4\sin t$，得到切点坐标$(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2})$。
步骤 4：求切线方程
利用点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$m=-\dfrac{4}{3}$，$(x_1,y_1)=(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2})$，代入得到$y-2\sqrt{2}=-\dfrac{4}{3}(x-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$，化简得到$4x+3y-12\sqrt{2}=0$。
对参数方程$x=3\cos t$和$y=4\sin t$分别求导，得到$dx=-3\sin t$和$dy=4\cos t$。
步骤 2：求切线斜率
切线斜率$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\cos t}{-3\sin t}$，将$t=\dfrac{\pi}{4}$代入，得到$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4\cos \dfrac{\pi}{4}}{-3\sin \dfrac{\pi}{4}}=-\dfrac{4}{3}$。
步骤 3：求切点坐标
将$t=\dfrac{\pi}{4}$代入参数方程$x=3\cos t$和$y=4\sin t$，得到切点坐标$(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2})$。
步骤 4：求切线方程
利用点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$m=-\dfrac{4}{3}$，$(x_1,y_1)=(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2})$，代入得到$y-2\sqrt{2}=-\dfrac{4}{3}(x-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})$，化简得到$4x+3y-12\sqrt{2}=0$。