4-12试设计一对外啮合圆柱齿轮,已知:Z1=21,z2=32,mn=2,实际中心距为55mm,问:(1)该对齿轮能否采用标准直齿圆柱齿轮传动[1]?(2)若采用标准斜齿圆柱齿轮传动来满足中心距要求,其分度圆螺旋[2]角β、分度圆直径d1、d2和节圆直径[3]d、d各为多少?

考查要点：本题主要考查标准直齿圆柱齿轮传动和斜齿圆柱齿轮传动的中心距计算，以及斜齿轮参数设计。

解题思路：

1. 第一问：计算标准直齿齿轮的标准中心距，与实际中心距比较，判断是否匹配。
2. 第二问：通过斜齿轮中心距公式反求螺旋角β，再计算分度圆直径和节圆直径。

关键点：

• 标准直齿中心距公式：$a = \frac{m(z_1 + z_2)}{2}$。
• 斜齿轮中心距公式：$a = \frac{m_n(z_1 + z_2)}{2\cos\beta}$，需通过变形求解β。
• 分度圆直径：$d_1 = m_n z_1$，$d_2 = m_n z_2$。
• 节圆直径：斜齿轮的节圆直径为分度圆直径除以$\cos\beta$。

第（1）题

计算标准中心距

标准直齿齿轮中心距公式为：
$a = \frac{m(z_1 + z_2)}{2} = \frac{2 \times (21 + 32)}{2} = 53 \, \text{mm}$
实际中心距为$55 \, \text{mm}$，大于标准值，因此不能保证无侧隙传动，但齿轮仍可安装，存在齿侧间隙。

第（2）题

求螺旋角β

斜齿轮中心距公式为：
$a = \frac{m_n(z_1 + z_2)}{2\cos\beta}$
代入$a = 55 \, \text{mm}$，解得：
$\cos\beta = \frac{m_n(z_1 + z_2)}{2a} = \frac{2 \times 53}{2 \times 55} \approx 0.9636 \\ \beta \approx \arccos(0.9636) \approx 15.5^\circ$

计算分度圆直径

$d_1 = m_n z_1 = 2 \times 21 = 42 \, \text{mm} \\ d_2 = m_n z_2 = 2 \times 32 = 64 \, \text{mm}$

计算节圆直径

斜齿轮的节圆直径为分度圆直径除以$\cos\beta$：
$d_1' = \frac{d_1}{\cos\beta} = \frac{42}{0.9636} \approx 43.58 \, \text{mm} \\ d_2' = \frac{d_2}{\cos\beta} = \frac{64}{0.9636} \approx 66.43 \, \text{mm}$