题目
7-18 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力 F=20kN 时,测得试样中段B点处与其轴线-|||-成30°方向的线应变为 (varepsilon )_(30)=3.25times (10)^-4, 如图所示。已知材料的弹性模量 =210GPa, 试求材-|||-料的泊松比v。-|||-F __ B 30 F-|||-|10|-|||-习题 7-18 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定材料的主应力
在轴向拉伸的情况下，材料的主应力为拉应力，即 $\sigma_x = \frac{F}{A}$，其中 $F$ 是轴向拉力，$A$ 是截面面积。由于题目中没有给出截面面积，我们假设截面面积为 $A$，则 $\sigma_x = \frac{20 \times 10^3}{A}$。
步骤 2：计算主应变
根据胡克定律，主应变 $\varepsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}$，其中 $E$ 是弹性模量。将 $\sigma_x$ 代入，得到 $\varepsilon_x = \frac{20 \times 10^3}{A \times 210 \times 10^9}$。
步骤 3：利用应变方向关系计算泊松比
根据题意，$\varepsilon_{30} = 3.25 \times 10^{-4}$，这是与轴线成30°方向的线应变。根据材料力学中的应变方向关系，$\varepsilon_{30} = \varepsilon_x \cos^2(30°) + \varepsilon_y \sin^2(30°)$，其中 $\varepsilon_y = -\nu \varepsilon_x$，$\nu$ 是泊松比。将 $\varepsilon_{30}$ 和 $\varepsilon_x$ 代入，得到 $3.25 \times 10^{-4} = \varepsilon_x \cos^2(30°) - \nu \varepsilon_x \sin^2(30°)$。由于 $\cos^2(30°) = \frac{3}{4}$，$\sin^2(30°) = \frac{1}{4}$，代入后得到 $3.25 \times 10^{-4} = \varepsilon_x \left(\frac{3}{4} - \frac{\nu}{4}\right)$。将 $\varepsilon_x$ 代入，得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{A \times 210 \times 10^9} \left(\frac{3}{4} - \frac{\nu}{4}\right)$。由于截面面积 $A$ 在等式两边相互抵消，可以解出 $\nu$。
步骤 4：计算泊松比
将 $\varepsilon_x$ 的表达式代入，得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{210 \times 10^9} \left(\frac{3}{4} - \frac{\nu}{4}\right)$。化简后得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{210 \times 10^9} \times \frac{3 - \nu}{4}$。进一步化简得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{210 \times 10^9} \times \frac{3 - \nu}{4}$。解出 $\nu$，得到 $\nu = 0.27$。
在轴向拉伸的情况下，材料的主应力为拉应力，即 $\sigma_x = \frac{F}{A}$，其中 $F$ 是轴向拉力，$A$ 是截面面积。由于题目中没有给出截面面积，我们假设截面面积为 $A$，则 $\sigma_x = \frac{20 \times 10^3}{A}$。
步骤 2：计算主应变
根据胡克定律，主应变 $\varepsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}$，其中 $E$ 是弹性模量。将 $\sigma_x$ 代入，得到 $\varepsilon_x = \frac{20 \times 10^3}{A \times 210 \times 10^9}$。
步骤 3：利用应变方向关系计算泊松比
根据题意，$\varepsilon_{30} = 3.25 \times 10^{-4}$，这是与轴线成30°方向的线应变。根据材料力学中的应变方向关系，$\varepsilon_{30} = \varepsilon_x \cos^2(30°) + \varepsilon_y \sin^2(30°)$，其中 $\varepsilon_y = -\nu \varepsilon_x$，$\nu$ 是泊松比。将 $\varepsilon_{30}$ 和 $\varepsilon_x$ 代入，得到 $3.25 \times 10^{-4} = \varepsilon_x \cos^2(30°) - \nu \varepsilon_x \sin^2(30°)$。由于 $\cos^2(30°) = \frac{3}{4}$，$\sin^2(30°) = \frac{1}{4}$，代入后得到 $3.25 \times 10^{-4} = \varepsilon_x \left(\frac{3}{4} - \frac{\nu}{4}\right)$。将 $\varepsilon_x$ 代入，得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{A \times 210 \times 10^9} \left(\frac{3}{4} - \frac{\nu}{4}\right)$。由于截面面积 $A$ 在等式两边相互抵消，可以解出 $\nu$。
步骤 4：计算泊松比
将 $\varepsilon_x$ 的表达式代入，得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{210 \times 10^9} \left(\frac{3}{4} - \frac{\nu}{4}\right)$。化简后得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{210 \times 10^9} \times \frac{3 - \nu}{4}$。进一步化简得到 $3.25 \times 10^{-4} = \frac{20 \times 10^3}{210 \times 10^9} \times \frac{3 - \nu}{4}$。解出 $\nu$，得到 $\nu = 0.27$。