题目
14-18 已知点的应力状态如习题 14-18 图所示(图中应力单位为MPa),试写出第一、第-|||-三、第四强度理论的相当应力。-|||-20 30-|||-50-|||-40-|||-20 25 square 40 square 20 20-|||-a) b) c) dì-|||-习题 14-18 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力
对于每个应力状态，我们首先需要确定主应力。主应力是应力张量的特征值。对于平面应力状态，我们可以通过求解特征方程来找到主应力。特征方程为：
$|{\sigma }_{ij}-{\lambda }_{i}{\delta }_{ij}|=0$
其中，${\sigma }_{ij}$ 是应力张量，${\lambda }_{i}$ 是主应力，${\delta }_{ij}$ 是克罗内克符号。对于平面应力状态，应力张量可以表示为：
${\sigma }_{ij}=\begin{bmatrix}{\sigma }_{x}&{\tau }_{xy}\\{\tau }_{xy}&{\sigma }_{y}\end{bmatrix}$
特征方程可以简化为：
$({\sigma }_{x}-{\lambda })({\sigma }_{y}-{\lambda })-{\tau }_{xy}^{2}=0$
解这个方程，我们可以得到两个主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{2}$。对于平面应力状态，第三个主应力${\sigma }_{3}$为零。
步骤 2：计算第一强度理论的相当应力
第一强度理论（最大拉应力理论）的相当应力为：
${\sigma }_{r1}={\sigma }_{1}$
其中，${\sigma }_{1}$ 是最大主应力。
步骤 3：计算第三强度理论的相当应力
第三强度理论（形状改变比能理论）的相当应力为：
${\sigma }_{r3}=\sqrt{\frac{1}{2}(({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})^{2}+({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})^{2}+({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})^{2})}$
其中，${\sigma }_{1}$、${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 是主应力。
步骤 4：计算第四强度理论的相当应力
第四强度理论（畸变能理论）的相当应力为：
${\sigma }_{r4}=\sqrt{\frac{1}{2}(({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})^{2}+({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})^{2}+({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})^{2})}$
其中，${\sigma }_{1}$、${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 是主应力。
对于每个应力状态，我们首先需要确定主应力。主应力是应力张量的特征值。对于平面应力状态，我们可以通过求解特征方程来找到主应力。特征方程为：
$|{\sigma }_{ij}-{\lambda }_{i}{\delta }_{ij}|=0$
其中，${\sigma }_{ij}$ 是应力张量，${\lambda }_{i}$ 是主应力，${\delta }_{ij}$ 是克罗内克符号。对于平面应力状态，应力张量可以表示为：
${\sigma }_{ij}=\begin{bmatrix}{\sigma }_{x}&{\tau }_{xy}\\{\tau }_{xy}&{\sigma }_{y}\end{bmatrix}$
特征方程可以简化为：
$({\sigma }_{x}-{\lambda })({\sigma }_{y}-{\lambda })-{\tau }_{xy}^{2}=0$
解这个方程，我们可以得到两个主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{2}$。对于平面应力状态，第三个主应力${\sigma }_{3}$为零。
步骤 2：计算第一强度理论的相当应力
第一强度理论（最大拉应力理论）的相当应力为：
${\sigma }_{r1}={\sigma }_{1}$
其中，${\sigma }_{1}$ 是最大主应力。
步骤 3：计算第三强度理论的相当应力
第三强度理论（形状改变比能理论）的相当应力为：
${\sigma }_{r3}=\sqrt{\frac{1}{2}(({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})^{2}+({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})^{2}+({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})^{2})}$
其中，${\sigma }_{1}$、${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 是主应力。
步骤 4：计算第四强度理论的相当应力
第四强度理论（畸变能理论）的相当应力为：
${\sigma }_{r4}=\sqrt{\frac{1}{2}(({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})^{2}+({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})^{2}+({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})^{2})}$
其中，${\sigma }_{1}$、${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 是主应力。