已知某合成试验的反应温度范围为340~420℃ ,通过单因素优选法得到当温度为400 时,产品的合成率最高,如果使用的是法,问优选过程是如何进行的,共需做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数。

考查要点：本题主要考查单因素优选法中的分数法的应用，重点在于理解如何通过逐步缩小区间范围确定最优温度点，并计算所需试验次数。

解题核心思路：

1. 单峰函数特性是解题基础，即存在唯一最高点，两侧单调变化。
2. 分数法通过斐波那契数列确定试验点位置，每次试验后根据结果缩小区间，逐步逼近最优解。
3. 试验次数由斐波那契数列的项数决定，需满足初始区间长度与斐波那契数的比值小于精度要求（本题未明确精度，直接通过步骤推导次数）。

破题关键：

• 明确分数法的试验点计算公式：$X_k = a + \frac{F_{n-1}}{F_n}(b - a)$，其中$F_n$为斐波那契数。
• 每次比较试验结果后，舍弃对应区间，更新区间端点，重复直至完成所有试验。

方法判定

题目中通过多次试验点的计算与区间调整，符合分数法的特征：

1. 初始区间长度为$420 - 340 = 80$。
2. 每次试验点的位置基于斐波那契数列的比例，而非固定比例（如黄金分割法的$0.618$）。
3. 试验次数为9次，对应斐波那契数$F_{10} = 55$（满足$\frac{80}{55} \approx 1.45$，符合实际精度需求）。

试验过程

1. 第1次试验：

   • $X_1 = 340 + 80 \times \frac{F_8}{F_9} = 340 + 80 \times \frac{21}{34} \approx 389$
   • $X_2 = 420 - 80 \times \frac{21}{34} \approx 371$
   • 比较$X_1$和$X_2$，舍弃较差区间（如舍弃$(340, 371)$）。

2. 后续试验：

   • 每次根据剩余区间长度和斐波那契数调整试验点位置，例如：
     • $X_3 = 371 + (420 - 371) \times \frac{F_7}{F_8} \approx 401$
   • 通过比较结果逐步缩小区间，最终收敛至$400$℃。

3. 终止条件：

   • 共需9次试验，对应斐波那契数列的递推过程。