2-15 水平刚性杆AB由三根钢杆BC、BD和ED支承,如图所示。在杆的A端承受铅垂-|||-荷载 =20kN, 三根钢杆的横截面面积分别为 _(1)=12(m)^2 _(2)=6(m)^2 _(3)=9(m)^2, 钢的弹性-|||-模量 =210 GPa, 试求:-|||-(1)端点A的水平和铅垂位移;-|||-(2)应用功能原理,即式 (2-8), 核算端点A的铅垂位移。

步骤 1：计算各杆的内力
对刚性杆AB进行受力分析，由平衡条件求得各杆内力。设F1、F2、F3分别为BC、BD、ED杆的内力。根据力的平衡条件，可以得到：
$$
F_1 = -60kN, \quad F_2 = 40kN, \quad F_3 = 0kN
$$
步骤 2：计算各杆的变形量
根据胡克定律，各杆的变形量为：
$$
\Delta L_1 = \frac{F_1 L}{E A_1} = \frac{-60 \times 10^3 \times 150}{210 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6}} = -3.57mm
$$
$$
\Delta L_2 = \frac{F_2 L}{E A_2} = \frac{40 \times 10^3 \times 150}{210 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-6}} = 4.76mm
$$
$$
\Delta L_3 = \frac{F_3 L}{E A_3} = 0mm
$$
步骤 3：计算端点A的水平和铅垂位移
根据几何关系，可以得到：
$$
\frac{\Delta L_3}{\Delta L_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{12}{6} = 2
$$
$$
\Delta L_3 + \Delta L_2 = 150mm
$$
解得：
$$
\Delta L_3 = 100mm, \quad \Delta L_2 = 50mm
$$
根据几何关系，可以得到：
$$
\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{150}{200} = \frac{3}{4}
$$
$$
\Delta x = \frac{3}{4} \Delta y
$$
根据胡克定律，可以得到：
$$
\Delta y = \frac{F L}{E A} = \frac{20 \times 10^3 \times 150}{210 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6}} = 20.23mm
$$
$$
\Delta x = \frac{3}{4} \times 20.23 = 15.17mm
$$
步骤 4：应用功能原理核算端点A的铅垂位移
根据功能原理，可以得到：
$$
\frac{1}{2} F \Delta y = \frac{1}{2} \frac{F_1^2 L}{E A_1} + \frac{1}{2} \frac{F_2^2 L}{E A_2} + \frac{1}{2} \frac{F_3^2 L}{E A_3}
$$
代入数据，可以得到：
$$
\frac{1}{2} \times 20 \times 10^3 \times \Delta y = \frac{1}{2} \times \frac{(-60 \times 10^3)^2 \times 150}{210 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6}} + \frac{1}{2} \times \frac{(40 \times 10^3)^2 \times 150}{210 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-6}} + \frac{1}{2} \times \frac{(0)^2 \times 150}{210 \times 10^9 \times 9 \times 10^{-6}}
$$
解得：
$$
\Delta y = 20.23mm
$$