题目

10.298K时锌汞齐中锌(B)的活度系数在xB为 .0sim 0.2 内可按如下公式计算:-|||-_(B)=1-3.92(x)_(B)-|||-(1)试计算 _(B)=0.06 时锌汞齐中锌的活度系数和活度;-|||-(2)试导出锌汞齐中汞(A)的活度系数表达式,并计算 _(B)=0.06 时汞的活度系数和活度。

题目解答

答案

解析

本题主要考查活度、、活度系数的计算以及利用吉吉布斯 - 杜亥姆霍兹方程方程推导活度系数表达式。解题思路如下：

  1. 计算锌（B）的活度系数和活度：
    • 已知锌（B）的活度系数计算公式$f_{B}=1 - 3.92x_{B}$，将$x_{B}=0.06$代入该公式，即可求出锌（B）的活度系数$f_{B}$。
    • 根据活度与活度系数的关系$a_{B}=x_{B}f_{B}$，将求得的$f_{B}$和已知的$x_{B}=0.06$代入该式，可算出锌（B）的活度$a_{B}$。
  2. 推导汞（A）的活度系数表达式并计算其活度系数和活度：
    • 利用吉布斯 - 杜亥姆方程$x_{A}d\ln a_{a_{A}}+x_{B}d\ln_{a_{B}} = 0$，结合活度与活度系数的关系$a_{i}=x_{i}f_{i}$（$i = A,B$）进行推导。
    • 因为$a_{A}=x_{A}f_{A}$，$a_{B}=x_{B}f_{B}$，所以$d\ln a_{A}=d\ln x_{A}+d\ln f_{A}$，$d\ln a_{B}=d\ln x_{B}+d\ln f_{B}$，代入吉布斯 - 杜亥姆方程可得\(1)式。 - 又因为$x_{A}=1 - x_{B}$，$d\ln x_{A=-d\ln(1 - x_{B})$，$d\ln x_{B}=-d\ln(1 - x_{A)$，将其代入(1)式化简得到$x_{A}d\ln f_{A}+x_{B}d\ln f_{B}=0$。
    • 已知$f_{B}=1 - 3.92x_{B}$，则$d\ln f_{B}=\frac{-3.92}{1 - 3.92x_{B}}dx_{B}$，$x_{A}=1 - x_{B}$，代入$x_{A}d\ln f_{A}+x_{B}d\ln f_{B}=0$，分离变量并积分，积分下限取$x_{B}=0$，此时$f_{A}=1$，上限取$x_{B}$，从而得到汞（A）的活度系数表达式$f_{A}$的表达式。
    • 将$x_{B}=0.06$代入汞（A）的活度系数表达式，求出此时汞（A）的活度系数$f_{A}$。
    • 再根据活度与活度系数的关系$a_{A}=x_{A}f_{A}$，$x_{A}=1 - x_{B}$，求出汞（A）的活度$a_{A}$。

具体计算过程

  1. 计算锌（B的活度系数和活度：
    • 计算锌（B）的活度系数$f_{B}$：
      已知$f_{B}=1 - 3.92x_{B}$，当$x_{B}=0.06$时，$f_{B}=1-3.92\times0.06 = 1 - 0.2352=0.7648\approx0.765$。
    • 计算锌（B）的活度$a_{B$：根据$a_{B}=x_{B}f_{B}$，可得$a_{B}=0.06\times0.765 = 0.0459\approx0.046$。
  2. 推导汞（A）的活度系数表达式并计算其活度系数和活度：
    • 由吉布斯 - 杜亥姆方程$x_{A}d\ln a_{A}+x_{B}d\ln a_{B}=0$，因为$a_{A}=x_{i}f_{i}$，所以$d\ln a_{i}=d\ln x_{i}+d\ln f_{f_{i}}$，则$x_{A}(d\ln x_{A}+d\ln f_{A})+x_{B}(d\ln x_{B}+d\ln f_{B}) = 0$。
    • 因为$x_{A}=1 - x_{B}}$，$d\ln x_{A}=-d\ln(1 - x_{B})$，$d\ln x_{B}=-d\ln(1 - x_{A})$，代入上式可得$x_{A}d式可化简为\(x_{A}d\ln f_{A}+x_{B}d\ln f_{B}=0$。
    • 已知$f_{B}=1 - 3.92x_{B}$，则$d\ln f_{B}=\frac{-3.92}{1 - 3.92x_{B}}dx_{B}$，$x_{A}=1 - x_{B}$，代入$x_{A}d\ln f_{A}+x_{B}d\ln f_{B}=0$得：
      $(1 - x_{B})d\ln f_{A}+x_{B}\frac{-3.92}{1 - 3.92x_{B}}dx_{B}=0$，移项可得$d\ln f_{A}=\frac{x_{B}\over1 - x_{B}}\cdot\frac{3.92}{1 - 3.92x_{B}}dx_{B$。
    • 对$d\ln f_{A}$进行积分，积分下限$x_{B}=0$时，$f_{A}=1$，上限为$x_{B}$：
      $\int_{1}^{f_{A}d\ln f_{A}=\int_{0}^{x_{B}}\frac{3.92x_{B}}{(1 - x_{B)(1 - 3.92x_{B})}dx_{B}$。
      对$\frac{3.92x_{B}{(1 - x_{B})(1 - 3.92x_{B})}$进行部分分式分解：
      设$\frac{3.92x_{B}\over(1 - x_{B})(1 - 3.92x_{B})}=\frac{A}{1 - 3.92x_{B}}+\frac{B}{1 - x_{B}}$，通分可得$3.92x_{B}=A(1 - x_{B})+B(1 - 3.92x_{B})$。
      令$x_{B}=1$，得$3.92 = B(1 - 3.92)$，解得$B = - 1$；令$x_{B}=\frac{1}{3.92}$，得$3.92\times\frac{1}{3.92}=A(1-\frac{1}{3.92})$，解得$A = 1.342$。
      则$\int_{1}^{f_{A}}d\ln f_{A}=\int_{0}^{ x 1.342\times\frac{1}{1 - 3.92x_{B}}+1.342\times\frac{1}{1 - x_{B}}dx_{B}$。
      积分得$\ln f_{A}=1.342\ln(1 - x_{B})-0.342\ln(1 - 3.92x_{B})$，即$f_{A}=\frac{(1 - x_{B})^{1.342}}{(1 - 3.92x_{B})^{0.342}}$。
    • 计算$x_{B}=0.06$时汞（A）的活度系数$f_{A}$：
      $f_{A}=\frac{(1 - 0.06)^{1.342}}{(1 - 3.92\times0.06)^{0.342}}=\frac{0.94^{1.342}}{0.7648^{0.342}}\approx1.009$。
    • 计算$x_{B}=0.06$时汞（A）的活度$a_{A}$：
      因为$x_{A}=1 - x_{B}=1 - 0.06 = 0.94$，所以$a_{A}=x_{A}f_{A=0.94\times1.009 = 0.94846\approx0.9485$。