题目
8-8 已知应力状态如图所示(应力单位为MPa),试利用解析法与图解法计算主应力的-|||-大小与所在截面的方位,并在微体中画出。-|||-420 20 430-|||-40 40 4 20-|||-20 40 20-|||-(a) (b) (c)-|||-题 8-8 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应力状态
对于给定的应力状态，我们首先需要确定应力分量。对于每个图，我们有：
(a) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=40MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(b) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=-40MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(c) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=-40MPa$, ${\tau }_{xy}=-20MPa$
步骤 2：计算主应力
主应力可以通过求解特征方程得到。特征方程为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2})\sigma -{\sigma }_{x}{\sigma }_{y}{\sigma }_{z}+{\tau }_{xy}^{2}{\sigma }_{z}=0$
由于我们只考虑平面应力状态，${\sigma }_{z}=0$，因此方程简化为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2})\sigma =0$
对于每个图，我们分别求解主应力。
步骤 3：计算主应力方向
主应力方向可以通过求解以下方程得到：
$\tan 2{\alpha }_{0}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
对于每个图，我们分别求解主应力方向。
步骤 4：绘制微体
根据计算得到的主应力和主应力方向，绘制微体并标出主应力和主应力方向。
对于给定的应力状态，我们首先需要确定应力分量。对于每个图，我们有：
(a) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=40MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(b) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=-40MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(c) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=-40MPa$, ${\tau }_{xy}=-20MPa$
步骤 2：计算主应力
主应力可以通过求解特征方程得到。特征方程为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2})\sigma -{\sigma }_{x}{\sigma }_{y}{\sigma }_{z}+{\tau }_{xy}^{2}{\sigma }_{z}=0$
由于我们只考虑平面应力状态，${\sigma }_{z}=0$，因此方程简化为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2})\sigma =0$
对于每个图，我们分别求解主应力。
步骤 3：计算主应力方向
主应力方向可以通过求解以下方程得到：
$\tan 2{\alpha }_{0}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
对于每个图，我们分别求解主应力方向。
步骤 4：绘制微体
根据计算得到的主应力和主应力方向，绘制微体并标出主应力和主应力方向。