题目

某工厂用varnothing 170 times 5 (mm)的无缝钢管输送水蒸汽，管长50 (m)，钢管的热导率为45 (W/(m) cdot (K))。为减少沿途的热损失，在管外包两层绝热材料，第一层为厚30 (mm)的矿渣棉，其热导率为0.065 (W/(m) cdot (K))；第二层为厚30 (mm)的石棉灰，其热导率为0.21 (W/(m) cdot (K))。管内壁温度为300 (℃)，保温层外表面温度为40 (℃)。试求该管路的散热量？

某工厂用$\varnothing 170 \times 5 \text{mm}$的无缝钢管输送水蒸汽，管长$50 \text{m}$，钢管的热导率为$45 \text{W/(m} \cdot \text{K)}$。为减少沿途的热损失，在管外包两层绝热材料，第一层为厚$30 \text{mm}$的矿渣棉，其热导率为$0.065 \text{W/(m} \cdot \text{K)}$；第二层为厚$30 \text{mm}$的石棉灰，其热导率为$0.21 \text{W/(m} \cdot \text{K)}$。管内壁温度为$300 \text{℃}$，保温层外表面温度为$40 \text{℃}$。试求该管路的散热量？

题目解答

答案

根据题目数据，各层半径分别为： \[ r_1 = 0.08 \, \text{m}, \, r_2 = 0.085 \, \text{m}, \, r_3 = 0.115 \, \text{m}, \, r_4 = 0.145 \, \text{m} \] 各层热阻为： \[ R_1 = \frac{\ln(1.0625)}{2\pi \times 50 \times 45} \approx 4.29 \times 10^{-6} \, \text{K/W} \] \[ R_2 = \frac{\ln(1.3529)}{2\pi \times 50 \times 0.065} \approx 0.0148 \, \text{K/W} \] \[ R_3 = \frac{\ln(1.2609)}{2\pi \times 50 \times 0.21} \approx 0.00352 \, \text{K/W} \] 总热阻： \[ R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 \approx 0.0183 \, \text{K/W} \] 总散热量： \[ Q = \frac{T_1 - T_4}{R_{total}} = \frac{260}{0.0183} \approx 14208 \, \text{W} \approx 1.42 \times 10^4 \, \text{W} \] 最终答案：该管路的散热量约为 $ 1.42 \times 10^4 \, \text{W} $。

解析

本题考查的是多层圆筒壁的热传导问题，解题的关键思路是先根据题目所给的无缝钢管及绝热材料的尺寸计算出各层圆筒壁的半径，再利用圆筒壁热阻公式计算出每一层的热阻，将各层热阻相加得到总热阻，最后根据热传导的基本公式，由管内壁温度和保温层外表面温度以及总热阻计算出管路的散热量。

步骤一：计算各层半径

已知无缝钢管规格为$\varnothing 170 \times 5 \text{mm}$，则管内半径$r_1$为：
$r_1=\frac{170 - 2\times5}{2}\div1000 = 0.08 \, \text{m}$
管外半径$r_2$为：
$r_2=\frac{170}{2}\div1000 = 0.085 \, \text{m}$
第一层矿渣棉包在管外，厚度为$30 \text{mm}$，则第一层矿渣棉外半径$r_3$为：
$r_3 = r_2 + 0.03 = 0.085 + 0.03 = 0.115 \, \text{m}$
第二层石棉灰包在第一层矿渣棉外，厚度为$30 \text{mm}$，则第二层石棉灰外半径$r_4$为：
$r_4 = r_3 + 0.03 = 0.115 + 0.03 = 0.145 \, \text{m}$

步骤二：计算各层热阻

对于多层圆筒壁，每一层的热阻公式为$R = \frac{\ln(\frac{r_{外}}{r_{内}})}{2\pi L \lambda}$，其中$L$为管长，$\lambda$为热导率。

钢管的热阻$R_1$：
已知管长$L = 50 \text{m}$，钢管热导率$\lambda_1 = 45 \text{W/(m} \cdot \text{K)}$，则
$R_1 = \frac{\ln(\frac{r_2}{r_1})}{2\pi L \lambda_1} = \frac{\ln(\frac{0.085}{0.08})}{2\pi \times 50 \times 45} = \frac{\ln(1.0625)}{2\pi \times 50 \times 45} \approx 4.29 \times 10^{-6} \, \text{K/W}$
第一层矿渣棉的热阻$R_2$：
第一层矿渣棉热导率$\lambda_2 = 0.065 \text{W/(m} \cdot \text{K)}$，则
$R_2 = \frac{\ln(\frac{r_3}{r_2})}{2\pi L \lambda_2} = \frac{\ln(\frac{0.115}{0.085})}{2\pi \times 50 \times 0.065} = \frac{\ln(1.3529)}{2\pi \times 50 \times 0.065} \approx 0.0148 \, \text{K/W}$
第二层石棉灰的热阻$R_3$：
第二层石棉灰热导率$\lambda_3 = 0.21 \text{W/(m} \cdot \text{K)}$，则
$R_3 = \frac{\ln(\frac{r_4}{r_3})}{2\pi L \lambda_3} = \frac{\ln(\frac{0.145}{0.115})}{2\pi \times 50 \times 0.21} = \frac{\ln(1.2609)}{2\pi \times 50 \times 0.21} \approx 0.00352 \, \text{K/W}$

步骤三：计算总热阻

总热阻$R_{total}$等于各层热阻之和，即
$R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 \approx 4.29 \times 10^{-6} + 0.0148 + 0.00352 \approx 0.0183 \, \text{K/W}$

步骤四：计算总散热量

已知管内壁温度$T_1 = 300 \text{℃}$，保温层外表面温度$T_4 = 40 \text{℃}$，根据热传导公式$Q = \frac{T_1 - T_4}{R_{total}}$，可得
$Q = \frac{300 - 40}{0.0183} = \frac{260}{0.0183} \approx 14208 \, \text{W} \approx 1.42 \times 10^4 \, \text{W}$