题目

一对标准中心距安装的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮传动[1]。已知 Z_1=20，Z_2=30，中心距 a=75(mm) 压力角 alpha=20^circ。试求该对齿轮的模数m= [填空1] (mm)齿轮1分度圆直径d_1= [填空2] (mm)齿轮2分度圆直径d_2= [填空3] (mm)齿轮1齿顶圆直径d_(a1)= [填空4] (mm)齿轮2齿顶圆直径d_(a2)= [填空5] (mm)齿轮1齿根圆直径d_(f1)= [填空6] (mm)齿轮2齿根圆直径d_(f2)= [填空7] (mm)齿轮1基圆直径d_(b1)= [填空8] (mm)齿轮2基圆直径d_(b2)= [填空9] (mm)基圆直径保留两位小数

一对标准中心距安装的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮传动[1]。已知 $Z_1=20$，$Z_2=30$，中心距 $a=75\text{mm}$ 压力角 $\alpha=20^\circ$。 试求该对齿轮的模数$m=$ [填空1] $\text{mm}$ 齿轮1分度圆直径$d_1=$ [填空2] $\text{mm}$ 齿轮2分度圆直径$d_2=$ [填空3] $\text{mm}$ 齿轮1齿顶圆直径$d_{a1}=$ [填空4] $\text{mm}$ 齿轮2齿顶圆直径$d_{a2}=$ [填空5] $\text{mm}$ 齿轮1齿根圆直径$d_{f1}=$ [填空6] $\text{mm}$ 齿轮2齿根圆直径$d_{f2}=$ [填空7] $\text{mm}$ 齿轮1基圆直径$d_{b1}=$ [填空8] $\text{mm}$ 齿轮2基圆直径$d_{b2}=$ [填空9] $\text{mm}$ 基圆直径保留两位小数

题目解答

答案

根据题目条件，模数 $ m = \frac{2a}{Z_1 + Z_2} = \frac{2 \times 75}{50} = 3 \, \text{mm} $。 分度圆直径： \[ d_1 = m Z_1 = 60 \, \text{mm}, \quad d_2 = m Z_2 = 90 \, \text{mm} \] 齿顶圆直径： \[ d_{a1} = m (Z_1 + 2) = 66 \, \text{mm}, \quad d_{a2} = m (Z_2 + 2) = 96 \, \text{mm} \] 齿根圆直径： \[ d_{f1} = m (Z_1 - 2.5) = 52.5 \, \text{mm}, \quad d_{f2} = m (Z_2 - 2.5) = 82.5 \, \text{mm} \] 基圆直径： \[ d_{b1} = m Z_1 \cos 20^\circ = 60 \times 0.9397 \approx 56.38 \, \text{mm} \] \[ d_{b2} = m Z_2 \cos 20^\circ = 90 \times 0.9397 \approx 84.57 \, \text{mm} \] 最终结果： - $ m = 3 \, \text{mm} $ - $ d_1 = 60 \, \text{mm} $ - $ d_2 = 90 \, \text{mm} $ - $ d_{a1} = 66 \, \text{mm} $ - $ d_{a2} = 96 \, \text{mm} $ - $ d_{f1} = 52.5 \, \text{mm} $ - $ d_{f2} = 82.5 \, \text{mm} $ - $ d_{b1} \approx 56.38 \, \text{mm} $ - $ d_{b2} \approx 84.57 \, \text{mm} $

解析

本题主要考查渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的基本参数计算，解题思路是根据已知的齿轮齿数、中心距和压力角，利用相应的公式依次计算出模数、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径和基圆直径。

  1. 计算模数 $m$：
    • 对于标准中心距安装的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，中心距 $a$ 与模数 $m$、两齿轮齿数 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的关系为 $a=\frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$。
    • 已知 $Z_1 = 20$，$Z_2 = 30$，$a = 75\text{mm}$，将其代入公式可得 $m=\frac{2a}{Z_1 + Z_2}$。
    • 计算过程为：$m=\frac{2\times75}{20 + 30}=\frac{150}{50}=3\text{mm}$。
  2. 计算分度圆直径 $d_1$ 和 $d_2$：
    • 分度圆直径的计算公式为 $d = mZ$。
    • 对于齿轮 1，$d_1 = mZ_1$，将 $m = 3\text{mm}$，$Z_1 = 20$ 代入可得 $d_1 = 3\times20 = 60\text{mm}$。
    • 对于齿轮 2，$d_2 = mZ_2$，将 $m = 3\text{mm}$，$Z_2 = 30$ 代入可得 $d_2 = 3\times30 = 90\text{mm}$。
  3. 计算齿顶圆直径 $d_{a1}$ 和 $d_{a2}$：
    • 对于标准直齿圆柱齿轮，齿顶高系数 $h_a^* = 1$，齿顶圆直径的计算公式为 $d_a = m(Z + 2h_a^*)$，即 $d_a = m(Z + 2)$。
    • 对于齿轮 1，$d_{a1} = m(Z_1 + 2)$，将 $m = 3\text{mm}$，$Z_1 = 20$ 代入可得 $d_{a1} = 3\times(20 + 2)=3\times22 = 66\text{mm}$。
    • 对于齿轮 2，$d_{a2} = m(Z_2 + 2)$，将 $m = 3\text{mm}$，$Z_2 = 30$ 代入可得 $d_{a2} = 3\times(30 + 2)=3\times32 = 96\text{mm}$。
  4. 计算齿根圆直径 $d_{f1}$ 和 $d_{f2}$：
    • 对于标准直齿圆柱齿轮，顶隙系数 $c^* = 0.25$，齿根圆直径的计算公式为 $d_f = m(Z - 2h_a^* - 2c^*)$，即 $d_f = m(Z - 2.5)$。
    • 对于齿轮 1，$d_{f1} = m(Z_1 - 2.5)$，将 $m = 3\text{mm}$，$Z_1 = 20$ 代入可得 $d_{f1} = 3\times(20 - 2.5)=3\times17.5 = 52.5\text{mm}$。
    • 对于齿轮 2，$d_{f2} = m(Z_2 - 2.5)$，将 $m = 3\text{mm}$，$Z_2 = 30$ 代入可得 $d_{f2} = 3\times(30 - 2.5)=3\times27.5 = 82.5\text{mm}$。
  5. 计算基圆直径 $d_{b1}$ 和 $d_{b2}$：
    • 基圆直径的计算公式为 $d_b = d\cos\alpha$，其中 $\alpha$ 为压力角。
    • 对于齿轮 1，$d_{b1} = d_1\cos\alpha$，已知 $d_1 = 60\text{mm}$，$\alpha = 20^\circ$，$\cos20^\circ\approx0.9397$，则 $d_{b1} = 60\times0.9397\approx56.38\text{mm}$。
    • 对于齿轮 2，$d_{b2} = d_2\cos\alpha$，已知 $d_2 = 90\text{mm}$，$\alpha = 20^\circ$，$\cos20^\circ\approx0.9397$，则 $d_{b2} = 90\times0.9397\approx84.57\text{mm}$。