7-13 图 7-61 所示一矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载F,求出此梁的最大切应力-|||-和最大正应力之比。-|||-F-|||-A B-|||-7 1/2 1/2 b-|||-图 7-61

步骤 1：确定最大正应力
最大正应力出现在梁的支点处，即梁的两端。对于简支梁，最大正应力出现在梁的两端，其值为：
\[{\sigma }_{max}=\dfrac {M_{max}}{W}\]
其中，$M_{max}$是梁的最大弯矩，$W$是截面的抗弯模量。对于矩形截面，$W=\dfrac {bh^2}{6}$，其中$b$是宽度，$h$是高度。最大弯矩$M_{max}$发生在梁的支点处，其值为：
\[M_{max}=\dfrac {Fl}{4}\]
其中，$F$是集中荷载，$l$是梁的长度。因此，最大正应力为：
\[{\sigma }_{max}=\dfrac {M_{max}}{W}=\dfrac {\dfrac {Fl}{4}}{\dfrac {bh^2}{6}}=\dfrac {3Fl}{2bh^2}\]

步骤 2：确定最大切应力
最大切应力出现在梁的中点，即梁的跨中。对于矩形截面，最大切应力为：
\[{\tau }_{max}=\dfrac {3V_{max}}{2bh}\]
其中，$V_{max}$是梁的最大剪力，其值为：
\[V_{max}=\dfrac {F}{2}\]
因此，最大切应力为：
\[{\tau }_{max}=\dfrac {3V_{max}}{2bh}=\dfrac {3\times \dfrac {F}{2}}{2bh}=\dfrac {3F}{4bh}\]

步骤 3：计算最大切应力和最大正应力之比
最大切应力和最大正应力之比为：
\[\dfrac {{\tau }_{max}}{{\sigma }_{max}}=\dfrac {\dfrac {3F}{4bh}}{\dfrac {3Fl}{2bh^2}}=\dfrac {h}{2l}\]