三、矩形板ABCD支承如图所示，自重不计，E处为固定端约束，D，A为光滑铰链。已知：q=20kN/m，M=50kN·m，P=10kN。试求A，E处约束反力。q-|||-c -|||-A-|||-D-|||-4m以板ABCD为研究对象，受力如图(a)列平衡方程∑X=0 XD=0∑MD=0 NA·4-M-4q·2=0________________________∑Y=0 YD+NA-4q=0YD=27.5(kN)以杆ED为研究对象，受力如图(b)∑X=0________________________∑ME =0 ME-P·1-Y'D·2=0________∑Y=0 YE-Y'D-P=0________________________

考查要点：本题主要考查静力学中平面任意力系的平衡问题，涉及分布载荷、力偶及多物体系统平衡方程的建立与求解。

解题核心思路：

1. 确定研究对象：优先选择矩形板ABCD作为整体分析，再对杆ED单独分析。
2. 受力分析：明确各支座约束类型（固定端、光滑铰链），绘制受力图。
3. 列平衡方程：对整体板ABCD列平面任意力系的平衡方程，求解A点反力；对杆ED列平衡方程，求解E点反力。

破题关键点：

• 分布载荷的等效简化：将均布载荷$q$转化为集中力，计算其作用位置。
• 力偶矩的正确处理：注意力偶$M$直接参与力矩平衡方程。
• 分阶段分析：先整体后局部，避免联立方程复杂化。

整体板ABCD的平衡分析

1. 受力图：板受均布载荷$q=20\ \text{kN/m}$（作用于BC边，总力$4q=80\ \text{kN}$，作用点距D点2m），力偶$M=50\ \text{kN·m}$，A、D为光滑铰链（仅提供垂直反力$N_A, Y_D$）。
2. 列平衡方程：
   • ∑X=0：水平方向无外力，故$X_D=0$。
   • ∑M_D=0：$N_A \cdot 4 - M - 4q \cdot 2 = 0$
     代入数据：$N_A \cdot 4 - 50 - 80 \cdot 2 = 0 \Rightarrow N_A = \frac{50 + 160}{4} = 52.5\ \text{kN}$。
   • ∑Y=0：$Y_D + N_A - 4q = 0$
     代入数据：$Y_D + 52.5 - 80 = 0 \Rightarrow Y_D = 27.5\ \text{kN}$。

杆ED的平衡分析

1. 受力图：杆受E点固定端约束（反力$X_E, Y_E, M_E$），D点垂直反力$Y'_D = Y_D = 27.5\ \text{kN}$，外力$P=10\ \text{kN}$。
2. 列平衡方程：
   • ∑X=0：$X_E = 0$。
   • ∑M_E=0：$M_E - P \cdot 1 - Y'_D \cdot 2 = 0$
     代入数据：$M_E - 10 \cdot 1 - 27.5 \cdot 2 = 0 \Rightarrow M_E = 10 + 55 = 65.5\ \text{kN·m}$。
   • ∑Y=0：$Y_E - Y'_D - P = 0$
     代入数据：$Y_E - 27.5 - 10 = 0 \Rightarrow Y_E = 37.5\ \text{kN}$。