题目
将初始温度为400℃,重量为40g的铝球突然抛入15℃的空气中。已知对流换热表面传热系数h=40 W/m2·K,铝的物性参数为ρ=2700kg/m3,c=0.9 kJ/kg·K,λ=240W/m·K。试用集总参数法确定该铝球由400℃降至100℃所需的时间。(忽略辐射换热)
将初始温度为400℃,重量为40g的铝球突然抛入15℃的空气中。已知对流换热表面传热系数h=40 W/m2·K,铝的物性参数为ρ=2700kg/m3,c=0.9 kJ/kg·K,λ=240W/m·K。试用集总参数法确定该铝球由400℃降至100℃所需的时间。(忽略辐射换热)
题目解答
答案
解:
可以用集总参数法来求解:
解析
步骤 1：计算铝球的半径
根据铝球的体积公式和密度，可以计算出铝球的半径。铝球的体积为 $V = \frac{m}{\rho}$，其中 $m$ 为铝球的质量，$\rho$ 为铝的密度。铝球的体积也可以表示为 $V = \frac{4}{3}\pi R^3$，其中 $R$ 为铝球的半径。将两个体积公式联立，可以解出铝球的半径 $R$。
步骤 2：判断是否可以使用集总参数法
集总参数法适用于物体内部温度分布均匀的情况，即物体的傅里叶数 $\hat{\lambda}$ 小于0.1。傅里叶数 $\hat{\lambda}$ 可以通过公式 $\hat{\lambda} = \frac{hR}{\lambda}$ 计算，其中 $h$ 为对流换热表面传热系数，$R$ 为物体的半径，$\lambda$ 为物体的导热系数。如果 $\hat{\lambda}$ 小于0.1，则可以使用集总参数法。
步骤 3：计算铝球由400℃降至100℃所需的时间
根据集总参数法，物体的温度随时间的变化可以用公式 $\frac{\theta}{\theta_0} = e^{-\frac{hA}{\rho c V}t}$ 描述，其中 $\theta$ 为物体的温度，$\theta_0$ 为物体的初始温度，$h$ 为对流换热表面传热系数，$A$ 为物体的表面积，$\rho$ 为物体的密度，$c$ 为物体的比热容，$V$ 为物体的体积，$t$ 为时间。将已知的参数代入公式，可以解出铝球由400℃降至100℃所需的时间 $t$。
根据铝球的体积公式和密度，可以计算出铝球的半径。铝球的体积为 $V = \frac{m}{\rho}$，其中 $m$ 为铝球的质量，$\rho$ 为铝的密度。铝球的体积也可以表示为 $V = \frac{4}{3}\pi R^3$，其中 $R$ 为铝球的半径。将两个体积公式联立，可以解出铝球的半径 $R$。
步骤 2：判断是否可以使用集总参数法
集总参数法适用于物体内部温度分布均匀的情况，即物体的傅里叶数 $\hat{\lambda}$ 小于0.1。傅里叶数 $\hat{\lambda}$ 可以通过公式 $\hat{\lambda} = \frac{hR}{\lambda}$ 计算，其中 $h$ 为对流换热表面传热系数，$R$ 为物体的半径，$\lambda$ 为物体的导热系数。如果 $\hat{\lambda}$ 小于0.1，则可以使用集总参数法。
步骤 3：计算铝球由400℃降至100℃所需的时间
根据集总参数法，物体的温度随时间的变化可以用公式 $\frac{\theta}{\theta_0} = e^{-\frac{hA}{\rho c V}t}$ 描述，其中 $\theta$ 为物体的温度，$\theta_0$ 为物体的初始温度，$h$ 为对流换热表面传热系数，$A$ 为物体的表面积，$\rho$ 为物体的密度，$c$ 为物体的比热容，$V$ 为物体的体积，$t$ 为时间。将已知的参数代入公式，可以解出铝球由400℃降至100℃所需的时间 $t$。