(10)3的间歇釜中进行均相反应A + B → P,为防止产物P在高温分解,反应维持在75℃等温操作,-(r)_(A)=k(C)_(A)(C)_(B)kmol/Lcdot S,-(r)_(A)=k(C)_(A)(C)_(B)kmol/Lcdot S,活化能-(r)_(A)=k(C)_(A)(C)_(B)kmol/Lcdot S。当反应物A和B的初始浓度均为-(r)_(A)=k(C)_(A)(C)_(B)kmol/Lcdot S,A的转化率-(r)_(A)=k(C)_(A)(C)_(B)kmol/Lcdot S时,该间歇釜平均每分钟可处理0.684kmol的反应物A。今若把反应移到一个管内径为125mm的理想管式反应器中进行,若将温度提升到85℃等温操作,且处理量与所要求达到的转化率均与间歇反应时相同,求所需的管式反应器长度。

本题主要考查化学反应工程中间歇釜和管式反应器的相关知识，解题思路是先根据阿累尼乌斯公式求出不同温度下的反应速率常数，再计算间歇釜中达到指定转化率所需的反应时间，此时间即为管式反应器的停留时间，接着根据处理量求出进料体积流量，进而得到管式反应器的体积，最后根据管式反应器的体积和管径计算出所需的长度。

1. 计算$85^{\circ}C$时的反应速率常数$k_2$
   • 已知阿累尼乌斯公式$k = k_0e^{-\frac{E}{RT}}$，对于两个不同温度$T_1$和$T_2$，有$\ln\frac{k_1}{k_2}=\frac{E}{R}(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})$。
   • 已知$T_1 = 75^{\circ}C=(75 + 273.15)K = 348.15K$，$k_1 = 2.78L/(kmol\cdot s)$，$E = 4.611\times10^3J/mol$，$R = 8.314J/(mol\cdot K)$，$T_2 = 85^{\circ}C=(85 + 273.15)K = 358.15K$。
   • 将上述数据代入$\ln\frac{k_1}{k_2}=\frac{E}{R}(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})$可得：
     $\ln\frac{2.78}{k_2}=\frac{4.611\times10^3}{8.314}(\frac{1}{358.15}-\frac{1}{348.15})$
     $\ln\frac{2.78}{k_2}=554.61\times(\frac{348.15 - 358.15}{358.15\times348.15})$
     $\ln\frac{2.78}{k_2}=554.61\times\frac{-10}{358.15\times348.15}$
     $\ln\frac{2.78}{k_2}\approx - 0.47$
     $\frac{2.78}{k_2}=e^{-0.47}$
     $k_2=\frac{2.78}{e^{-0.47}}\approx 6.633L/(kmol\cdot s)$
2. 计算间歇釜中达到$X_A = 0.80$所需的反应时间$t$
   • 因为$C_{A0}=C_{B0}=4mol/L$，且为等摩尔反应，所以$-r_A = kC_AC_B = kC_A^2 = kC_{A0}^2(1 - X_A)^2=-\frac{dC_A}{dt}$。
   • 对$-r_A = kC_{A0}^2(1 - X_A)^2=-\frac{dC_A}{dt}$进行积分，$C_A = C_{A0}(1 - X_A)$，$dC_A=-C_{A0}dX_A$，则$kC_{A0}^2(1 - X_A)^2=\frac{C_{A0}dX_A}{dt}$，即$dt=\frac{1}{kC_{A0}(1 - X_A)^2}dX_A$。
   • 从$X_A = 0$到$X_A = 0.8$积分可得：
     $t=\int_{0}^{0.8}\frac{1}{kC_{A0}(1 - X_A)^2}dX_A=\frac{1}{kC_{A0}}\int_{0}^{0.8}\frac{1}{(1 - X_A)^2}dX_A$
     令$u = 1 - X_A$，$du=-dX_A$，当$X_A = 0$时，$u = 1$；当$X_A = 0.8$时，$u = 0.2$。
     则$t=\frac{1}{kC_{A0}}\int_{1}^{0.2}-\frac{1}{u^2}du=\frac{1}{kC_{A0}}\int_{0.2}^{1}\frac{1}{u^2}du$
     $t=\frac{1}{kC_{A0}}[-\frac{1}{u}]_{0.2}^{1}=\frac{1}{kC_{A0}}(-1+\frac{1}{0.2})=\frac{1}{kC_{A0}}\times4=\frac{X_A}{kC_{A0}(1 - X_A)}$
   • 代入$k = 6.633L/(kmol\cdot s)$，$C_{A0}=4kmol/m^3$，$X_A = 0.8$可得：
     $t=\frac{0.8}{6.633\times4\times(1 - 0.8)}s\approx 151s = 2.5min$
3. 计算管式反应器的体积$V$
   • 此反应时间$t$应等于在理想管式反应器中的停留时间$\tau$，即$\tau = 2.5min$。
   • 已知处理量$F_{A0}=0.684kmol/min$，$C_{A0}=4kmol/m^3$，则进料体积流量$V_0=\frac{F_{A0}}{C_{A0}}=\frac{0.684}{4}m^3/min = 0.171m^3/min$。
   • 管式反应器的体积$V=\tau V_0=2.5\times0.171m^3 = 0.4275m^3\approx0.428m^3$。
4. 计算管式反应器的长度$L$
   • 已知管内径$D = 125mm = 0.125m$，根据$V=\frac{\pi}{4}D^2L$，可得$L=\frac{V}{\frac{\pi}{4}D^2}$。
   • 代入$V = 0.428m^3$，$D = 0.125m$可得：
     $L=\frac{0.428}{\frac{\pi}{4}\times(0.125)^2}m\approx35m$