题目
7-7 各单元体如图所示(图中应力单位为MPa)。试利用应力圆的几何关系求:-|||-(1)指定截面上的应力;-|||-(2)主应力的数值;-|||-(3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。-|||-40 50-|||-20 30 50-|||-30 60 30-|||-30-|||-(a) (b) (c)-|||-45 50-|||-50-|||-(c) (d)-|||-习题 7-7 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应力圆的中心和半径
对于给定的应力状态，应力圆的中心位于横轴上，其坐标为$\sigma_{avg} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$，半径为$R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$。其中，$\sigma_x$和$\sigma_y$是主应力，$\tau_{xy}$是剪应力。
步骤 2：计算指定截面上的应力
指定截面上的正应力$\sigma_{\alpha}$和剪应力$\tau_{\alpha}$可以通过应力圆上的点来确定。对于任意角度$\alpha$，应力圆上的点的坐标为$(\sigma_{\alpha}, \tau_{\alpha})$，其中$\sigma_{\alpha} = \sigma_{avg} + R\cos(2\alpha)$，$\tau_{\alpha} = R\sin(2\alpha)$。
步骤 3：确定主应力的数值
主应力是应力圆与横轴的交点，其数值为$\sigma_1 = \sigma_{avg} + R$和$\sigma_3 = \sigma_{avg} - R$。
步骤 4：确定主平面的位置
主平面是剪应力为零的平面，其角度$\alpha_0$可以通过$\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$来确定。
对于给定的应力状态，应力圆的中心位于横轴上，其坐标为$\sigma_{avg} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$，半径为$R = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$。其中，$\sigma_x$和$\sigma_y$是主应力，$\tau_{xy}$是剪应力。
步骤 2：计算指定截面上的应力
指定截面上的正应力$\sigma_{\alpha}$和剪应力$\tau_{\alpha}$可以通过应力圆上的点来确定。对于任意角度$\alpha$，应力圆上的点的坐标为$(\sigma_{\alpha}, \tau_{\alpha})$，其中$\sigma_{\alpha} = \sigma_{avg} + R\cos(2\alpha)$，$\tau_{\alpha} = R\sin(2\alpha)$。
步骤 3：确定主应力的数值
主应力是应力圆与横轴的交点，其数值为$\sigma_1 = \sigma_{avg} + R$和$\sigma_3 = \sigma_{avg} - R$。
步骤 4：确定主平面的位置
主平面是剪应力为零的平面，其角度$\alpha_0$可以通过$\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$来确定。