题目
5.5 已知一两端封闭的薄壁圆筒,平均半径为r,壁厚为t,承受内压p的作用而产-|||-生塑性变形,假设材料是各项同性的,并忽略弹性应变,试求屈服时周向、轴向和径向应-|||-变增量之比。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆筒的应力状态
在薄壁圆筒承受内压p的作用下，圆筒的应力状态可以简化为平面应力状态。根据薄壁圆筒的应力分析，圆筒的周向应力（环向应力）${\sigma}_{\theta}$和轴向应力${\sigma}_{z}$可以表示为：
$${\sigma}_{\theta} = \frac{pr}{t}$$
$${\sigma}_{z} = \frac{pr}{2t}$$
其中，$r$是圆筒的平均半径，$t$是圆筒的壁厚，$p$是内压。
步骤 2：应用塑性变形条件
假设材料是各项同性的，并忽略弹性应变，当圆筒发生塑性变形时，材料的塑性应变增量与应力增量之间满足塑性变形条件。对于薄壁圆筒，塑性变形条件可以简化为：
$$d{\varepsilon}_{\theta} = \frac{d{\sigma}_{\theta}}{E}$$
$$d{\varepsilon}_{z} = \frac{d{\sigma}_{z}}{E}$$
$$d{\varepsilon}_{r} = 0$$
其中，$d{\varepsilon}_{\theta}$、$d{\varepsilon}_{z}$和$d{\varepsilon}_{r}$分别是周向、轴向和径向的应变增量，$E$是材料的弹性模量。
步骤 3：计算应变增量之比
根据塑性变形条件，可以计算出周向、轴向和径向的应变增量之比：
$$d{\varepsilon}_{\theta} : d{\varepsilon}_{z} : d{\varepsilon}_{r} = \frac{d{\sigma}_{\theta}}{E} : \frac{d{\sigma}_{z}}{E} : 0$$
$$= \frac{pr}{t} : \frac{pr}{2t} : 0$$
$$= 1 : \frac{1}{2} : 0$$
$$= 1 : (-1) : 0$$
在薄壁圆筒承受内压p的作用下，圆筒的应力状态可以简化为平面应力状态。根据薄壁圆筒的应力分析，圆筒的周向应力（环向应力）${\sigma}_{\theta}$和轴向应力${\sigma}_{z}$可以表示为：
$${\sigma}_{\theta} = \frac{pr}{t}$$
$${\sigma}_{z} = \frac{pr}{2t}$$
其中，$r$是圆筒的平均半径，$t$是圆筒的壁厚，$p$是内压。
步骤 2：应用塑性变形条件
假设材料是各项同性的，并忽略弹性应变，当圆筒发生塑性变形时，材料的塑性应变增量与应力增量之间满足塑性变形条件。对于薄壁圆筒，塑性变形条件可以简化为：
$$d{\varepsilon}_{\theta} = \frac{d{\sigma}_{\theta}}{E}$$
$$d{\varepsilon}_{z} = \frac{d{\sigma}_{z}}{E}$$
$$d{\varepsilon}_{r} = 0$$
其中，$d{\varepsilon}_{\theta}$、$d{\varepsilon}_{z}$和$d{\varepsilon}_{r}$分别是周向、轴向和径向的应变增量，$E$是材料的弹性模量。
步骤 3：计算应变增量之比
根据塑性变形条件，可以计算出周向、轴向和径向的应变增量之比：
$$d{\varepsilon}_{\theta} : d{\varepsilon}_{z} : d{\varepsilon}_{r} = \frac{d{\sigma}_{\theta}}{E} : \frac{d{\sigma}_{z}}{E} : 0$$
$$= \frac{pr}{t} : \frac{pr}{2t} : 0$$
$$= 1 : \frac{1}{2} : 0$$
$$= 1 : (-1) : 0$$