题目
8.16 图为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功-|||-率 =3kg W,转子转速 =1400r/min, 转子重量 _(1)=101-|||-N。砂轮直径 =250mm, 砂轮重量 _(2)=275N 磨削力-|||-_(y):(F)_(x)=3:1, 砂轮轴直径 =50mm, 材料为轴承钢, [ 0] =-|||-60 MPa。-|||-(1)试用单元体表示出危险点的应力状态,并求出主应-|||-力和最大切应力。-|||-(2)试用第三强度理论校核轴的强度。-|||-砂轮 转子-|||-"-|||-W2-|||-W1-|||-1 130 240 180-|||-F F、
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算转矩和弯矩
根据已知条件，电动机功率 $P=3kW$，转子转速 $n=1400r/min$，可以计算出转矩 $T$。转矩 $T$ 可以通过公式 $T = \frac{P}{2\pi n/60}$ 计算，其中 $P$ 是功率，$n$ 是转速。代入已知数值，得到 $T = \frac{3000}{2\pi \times 1400/60} = 4.09N\cdot m$。
砂轮轴受到的弯矩 $M$ 可以通过砂轮重量 $W_2$ 和转子重量 $W_1$ 计算。弯矩 $M$ 可以通过公式 $M = W_2 \times L_2 + W_1 \times L_1$ 计算，其中 $L_2$ 和 $L_1$ 分别是砂轮和转子到砂轮轴中心的距离。代入已知数值，得到 $M = 275 \times 0.13 + 101 \times 0.24 = 60.55N\cdot m$。
步骤 2：计算应力
砂轮轴直径 $d=50mm$，材料为轴承钢，可以计算出砂轮轴的截面积 $A$ 和极惯性矩 $I$。截面积 $A$ 可以通过公式 $A = \frac{\pi d^2}{4}$ 计算，极惯性矩 $I$ 可以通过公式 $I = \frac{\pi d^4}{64}$ 计算。代入已知数值，得到 $A = \frac{\pi \times 50^2}{4} = 1963.5mm^2$，$I = \frac{\pi \times 50^4}{64} = 30680000mm^4$。
砂轮轴的应力可以通过公式 $\sigma = \frac{M}{I} \times y$ 计算，其中 $y$ 是砂轮轴中心到砂轮轴表面的距离。代入已知数值，得到 $\sigma = \frac{60.55 \times 10^3}{30680000} \times 25 = 0.05MPa$。
步骤 3：计算主应力和最大切应力
砂轮轴的主应力可以通过公式 $\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$ 和 $\sigma_3 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$ 计算，其中 $\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 分别是砂轮轴的正应力，$\tau_{xy}$ 是砂轮轴的切应力。代入已知数值，得到 $\sigma_1 = 3.11MPa$，$\sigma_3 = -0.22MPa$。
砂轮轴的最大切应力可以通过公式 $\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$ 计算。代入已知数值，得到 $\tau_{max} = 1.67MPa$。
步骤 4：校核轴的强度
砂轮轴的强度可以通过第三强度理论校核。第三强度理论认为，当材料的主应力差值超过材料的许用应力时，材料就会发生破坏。砂轮轴的许用应力为 $[o] = 60MPa$。代入已知数值，得到 $\sigma_{13} = 3.33MPa < [o]$，砂轮轴的强度满足要求。
根据已知条件，电动机功率 $P=3kW$，转子转速 $n=1400r/min$，可以计算出转矩 $T$。转矩 $T$ 可以通过公式 $T = \frac{P}{2\pi n/60}$ 计算，其中 $P$ 是功率，$n$ 是转速。代入已知数值，得到 $T = \frac{3000}{2\pi \times 1400/60} = 4.09N\cdot m$。
砂轮轴受到的弯矩 $M$ 可以通过砂轮重量 $W_2$ 和转子重量 $W_1$ 计算。弯矩 $M$ 可以通过公式 $M = W_2 \times L_2 + W_1 \times L_1$ 计算，其中 $L_2$ 和 $L_1$ 分别是砂轮和转子到砂轮轴中心的距离。代入已知数值，得到 $M = 275 \times 0.13 + 101 \times 0.24 = 60.55N\cdot m$。
步骤 2：计算应力
砂轮轴直径 $d=50mm$，材料为轴承钢，可以计算出砂轮轴的截面积 $A$ 和极惯性矩 $I$。截面积 $A$ 可以通过公式 $A = \frac{\pi d^2}{4}$ 计算，极惯性矩 $I$ 可以通过公式 $I = \frac{\pi d^4}{64}$ 计算。代入已知数值，得到 $A = \frac{\pi \times 50^2}{4} = 1963.5mm^2$，$I = \frac{\pi \times 50^4}{64} = 30680000mm^4$。
砂轮轴的应力可以通过公式 $\sigma = \frac{M}{I} \times y$ 计算，其中 $y$ 是砂轮轴中心到砂轮轴表面的距离。代入已知数值，得到 $\sigma = \frac{60.55 \times 10^3}{30680000} \times 25 = 0.05MPa$。
步骤 3：计算主应力和最大切应力
砂轮轴的主应力可以通过公式 $\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$ 和 $\sigma_3 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$ 计算，其中 $\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 分别是砂轮轴的正应力，$\tau_{xy}$ 是砂轮轴的切应力。代入已知数值，得到 $\sigma_1 = 3.11MPa$，$\sigma_3 = -0.22MPa$。
砂轮轴的最大切应力可以通过公式 $\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$ 计算。代入已知数值，得到 $\tau_{max} = 1.67MPa$。
步骤 4：校核轴的强度
砂轮轴的强度可以通过第三强度理论校核。第三强度理论认为，当材料的主应力差值超过材料的许用应力时，材料就会发生破坏。砂轮轴的许用应力为 $[o] = 60MPa$。代入已知数值，得到 $\sigma_{13} = 3.33MPa < [o]$，砂轮轴的强度满足要求。