题目
如图 3-20 所示的等直杆,已知直径 d=40mm a=400mm ,材料的剪切弹性模量 G=-|||-80GPa, varphi DB=(1)^circ 。试求:-|||-(1)AD杆的最大切应力。(2)扭转角φcA。-|||-M。 2M。 3M。-|||-D C B A-|||-a a 2a-|||-图 3-20
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算外力偶矩 $M_e$
根据题目条件，$\varphi_{DB} = 1^\circ$，即 $\varphi_{CB} + \varphi_{DC} = 1^\circ$。其中，$\varphi_{CB} = \frac{M_e a}{G I_p}$，$\varphi_{DC} = \frac{2 M_e a}{G I_p}$。因此，有：
$$
\frac{M_e a}{G I_p} + \frac{2 M_e a}{G I_p} = 1^\circ
$$
将 $1^\circ$ 转换为弧度，即 $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ 弧度，代入上式，得到：
$$
\frac{3 M_e a}{G I_p} = \frac{\pi}{180}
$$
解得：
$$
M_e = \frac{\pi G I_p}{540 a}
$$
步骤 2：计算极惯性矩 $I_p$
极惯性矩 $I_p$ 的计算公式为：
$$
I_p = \frac{\pi d^4}{32}
$$
代入 $d = 40 mm$，得到：
$$
I_p = \frac{\pi (40)^4}{32} = 251327.4123 mm^4
$$
步骤 3：计算外力偶矩 $M_e$
将 $I_p$ 的值代入 $M_e$ 的计算公式，得到：
$$
M_e = \frac{\pi \times 80 \times 10^9 \times 251327.4123}{540 \times 400 \times 10^3} = 292 kN \cdot m
$$
步骤 4：计算最大切应力 $\tau_{max}$
最大切应力 $\tau_{max}$ 的计算公式为：
$$
\tau_{max} = \frac{T_{max} r}{I_p}
$$
其中，$T_{max} = 3 M_e$，$r = \frac{d}{2} = 20 mm$。代入 $T_{max}$ 和 $r$ 的值，得到：
$$
\tau_{max} = \frac{3 \times 292 \times 10^6 \times 20}{251327.4123} = 69.7 MPa
$$
步骤 5：计算扭转角 $\varphi_{CA}$
扭转角 $\varphi_{CA}$ 的计算公式为：
$$
\varphi_{CA} = \frac{T_{CA} L}{G I_p}
$$
其中，$T_{CA} = 3 M_e$，$L = 2a = 800 mm$。代入 $T_{CA}$ 和 $L$ 的值，得到：
$$
\varphi_{CA} = \frac{3 \times 292 \times 10^6 \times 800}{80 \times 10^9 \times 251327.4123} = 0.0408 rad
$$
将 $0.0408 rad$ 转换为度，即 $0.0408 rad = 2.33^\circ$。
根据题目条件，$\varphi_{DB} = 1^\circ$，即 $\varphi_{CB} + \varphi_{DC} = 1^\circ$。其中，$\varphi_{CB} = \frac{M_e a}{G I_p}$，$\varphi_{DC} = \frac{2 M_e a}{G I_p}$。因此，有：
$$
\frac{M_e a}{G I_p} + \frac{2 M_e a}{G I_p} = 1^\circ
$$
将 $1^\circ$ 转换为弧度，即 $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ 弧度，代入上式，得到：
$$
\frac{3 M_e a}{G I_p} = \frac{\pi}{180}
$$
解得：
$$
M_e = \frac{\pi G I_p}{540 a}
$$
步骤 2：计算极惯性矩 $I_p$
极惯性矩 $I_p$ 的计算公式为：
$$
I_p = \frac{\pi d^4}{32}
$$
代入 $d = 40 mm$，得到：
$$
I_p = \frac{\pi (40)^4}{32} = 251327.4123 mm^4
$$
步骤 3：计算外力偶矩 $M_e$
将 $I_p$ 的值代入 $M_e$ 的计算公式，得到：
$$
M_e = \frac{\pi \times 80 \times 10^9 \times 251327.4123}{540 \times 400 \times 10^3} = 292 kN \cdot m
$$
步骤 4：计算最大切应力 $\tau_{max}$
最大切应力 $\tau_{max}$ 的计算公式为：
$$
\tau_{max} = \frac{T_{max} r}{I_p}
$$
其中，$T_{max} = 3 M_e$，$r = \frac{d}{2} = 20 mm$。代入 $T_{max}$ 和 $r$ 的值，得到：
$$
\tau_{max} = \frac{3 \times 292 \times 10^6 \times 20}{251327.4123} = 69.7 MPa
$$
步骤 5：计算扭转角 $\varphi_{CA}$
扭转角 $\varphi_{CA}$ 的计算公式为：
$$
\varphi_{CA} = \frac{T_{CA} L}{G I_p}
$$
其中，$T_{CA} = 3 M_e$，$L = 2a = 800 mm$。代入 $T_{CA}$ 和 $L$ 的值，得到：
$$
\varphi_{CA} = \frac{3 \times 292 \times 10^6 \times 800}{80 \times 10^9 \times 251327.4123} = 0.0408 rad
$$
将 $0.0408 rad$ 转换为度，即 $0.0408 rad = 2.33^\circ$。