6-10 已知圆轴的转速 =300 r/min ,传递功率450马力(1马力=-|||-735.5W),材料的 [ 7] =60MPa =82GPa 。要求在2m长度内的相对扭转角-|||-不超过1°,试求该轴的直径。

本题主要考察圆轴扭转时的强度条件和刚度条件的应用，需综合考虑强度和刚度要求确定轴的直径。

1. 计算外力偶矩 $M_n$

圆轴传递的功率 $P$ 与外力偶矩 $M_n$ 的关系为：
$M_n = 7.02 \frac{P}{n}$
其中，$P = 450 \, \text{马力} = 450 \times 735.5 \, \text{W}$，$n = 300 \, \text{r/min}$。
代入得：

$M_n = 7.02 \times \frac{450}{300} = 10.53 \, \text{kN·m} = } 10.53 \times 10^3 \, \text{N·m}$

2. 按强度条件求直径

强度条件：$\frac{M_n}{W_p} \leq [\tau]$，其中抗扭截面系数 $W_p = \frac{\pi D^3}{16}$。
代入得：
$\frac{16M_n}{\pi D^3} \leq [\tau]$
解得：
$D \geq \sqrt[3]{\frac{16_n}{\pi [\tau]}}$
代入 $M_n = 10.53 \times 10^3 \, \text{N·m}$，$[\tau] = 60 \, \text{MPa} = 60 \times 10^6 \, \text{Pa}$：
$D \geq \sqrt[3]{\frac{16 \times 10.53 \times 10^3}{\pi \times 60 \times 10^6}} \approx 0.0963 \, \text{m} = 96.3 \, \text{mm}$

3.按刚度条件求直径

刚度条件：$\theta = \frac{M_n}{G I_p} \leq [\theta]$，其中极惯性矩 $I_p = \frac{\pi D^4}{32}$，许用扭转角 $[\theta] = \frac{1^\circ}{2 \, \text{m}} = \frac{\pi}{180 \times 2} \, \text{rad/m}$。
代入得：
$\theta = \frac{M_n \times 32}{G \pi D^4} \leq [\theta]$
解得：
$D \geq \sqrt[4]{\frac{32 M_n}{G \pi G [\theta]}}$
代入 $G = 82 \, \text{GPa} = 82 \times 10^9 \, \text{Pa}$，$[\theta] = \frac{\pi}{360} \, \text{rad/m}$：
$D \geq \sqrt[4]{\frac{32 \times 10.53 \times 10^3}{\pi \times 82 \times 10^9 \times \frac{\pi}{3}}} \approx 0.1106 \, \text{m} = 110.6 \, \text{mm}$

4. 确定最终直径

取强度和刚度条件中较大的直径，故 $D = 111 \, \text{mm}$（圆整到整数）。