题目
7-7 图 7-21 所示传动轴的作用外力偶矩 _(1)=3kNcdot m, _(2)=1kNcdot m 直径 _(1)=50mm _(2)=40mm ,l=-|||-100mm,材料的切变模量 =80GPa 试求:1)画轴的扭矩图;2)求轴的最大切应力tmn;3)求C截面相-|||-对于A截面的扭转角φAC-|||-d1 M1 d2 M2-|||-A. B C-|||-1 1-|||-图 7-21
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算各段的扭矩
- 对于AB段，扭矩 ${T}_{AB} = {M}_{1} = 3kN\cdot m$。
- 对于BC段，扭矩 ${T}_{BC} = {M}_{1} - {M}_{2} = 3kN\cdot m - 1kN\cdot m = 2kN\cdot m$。
步骤 2：画轴的扭矩图
- AB段的扭矩为3kN·m，BC段的扭矩为2kN·m。扭矩图显示了扭矩随轴长度的变化。
步骤 3：计算最大切应力
- AB段的极惯性矩 ${J}_{AB} = \frac{\pi {d}_{1}^{4}}{32} = \frac{\pi (50mm)^{4}}{32} = 613592.4mm^{4}$。
- BC段的极惯性矩 ${J}_{BC} = \frac{\pi {d}_{2}^{4}}{32} = \frac{\pi (40mm)^{4}}{32} = 251327.4mm^{4}$。
- AB段的最大切应力 ${\tau }_{AB} = \frac{{T}_{AB} \cdot {d}_{1}/2}{{J}_{AB}} = \frac{3000N\cdot m \cdot 25mm}{613592.4mm^{4}} = 123.5MPa$。
- BC段的最大切应力 ${\tau }_{BC} = \frac{{T}_{BC} \cdot {d}_{2}/2}{{J}_{BC}} = \frac{2000N\cdot m \cdot 20mm}{251327.4mm^{4}} = 159.1MPa$。
- 因此，轴的最大切应力 ${\tau }_{max} = 159.1MPa$。
步骤 4：计算C截面相对于A截面的扭转角
- AB段的扭转角 ${\varphi }_{AB} = \frac{{T}_{AB} \cdot l}{G \cdot {J}_{AB}} = \frac{3000N\cdot m \cdot 100mm}{80GPa \cdot 613592.4mm^{4}} = 0.0061rad$。
- BC段的扭转角 ${\varphi }_{BC} = \frac{{T}_{BC} \cdot l}{G \cdot {J}_{BC}} = \frac{2000N\cdot m \cdot 100mm}{80GPa \cdot 251327.4mm^{4}} = 0.0100rad$。
- C截面相对于A截面的扭转角 ${\varphi }_{AC} = {\varphi }_{AB} - {\varphi }_{BC} = 0.0061rad - 0.0100rad = -0.0039rad$。
- 对于AB段，扭矩 ${T}_{AB} = {M}_{1} = 3kN\cdot m$。
- 对于BC段，扭矩 ${T}_{BC} = {M}_{1} - {M}_{2} = 3kN\cdot m - 1kN\cdot m = 2kN\cdot m$。
步骤 2：画轴的扭矩图
- AB段的扭矩为3kN·m，BC段的扭矩为2kN·m。扭矩图显示了扭矩随轴长度的变化。
步骤 3：计算最大切应力
- AB段的极惯性矩 ${J}_{AB} = \frac{\pi {d}_{1}^{4}}{32} = \frac{\pi (50mm)^{4}}{32} = 613592.4mm^{4}$。
- BC段的极惯性矩 ${J}_{BC} = \frac{\pi {d}_{2}^{4}}{32} = \frac{\pi (40mm)^{4}}{32} = 251327.4mm^{4}$。
- AB段的最大切应力 ${\tau }_{AB} = \frac{{T}_{AB} \cdot {d}_{1}/2}{{J}_{AB}} = \frac{3000N\cdot m \cdot 25mm}{613592.4mm^{4}} = 123.5MPa$。
- BC段的最大切应力 ${\tau }_{BC} = \frac{{T}_{BC} \cdot {d}_{2}/2}{{J}_{BC}} = \frac{2000N\cdot m \cdot 20mm}{251327.4mm^{4}} = 159.1MPa$。
- 因此，轴的最大切应力 ${\tau }_{max} = 159.1MPa$。
步骤 4：计算C截面相对于A截面的扭转角
- AB段的扭转角 ${\varphi }_{AB} = \frac{{T}_{AB} \cdot l}{G \cdot {J}_{AB}} = \frac{3000N\cdot m \cdot 100mm}{80GPa \cdot 613592.4mm^{4}} = 0.0061rad$。
- BC段的扭转角 ${\varphi }_{BC} = \frac{{T}_{BC} \cdot l}{G \cdot {J}_{BC}} = \frac{2000N\cdot m \cdot 100mm}{80GPa \cdot 251327.4mm^{4}} = 0.0100rad$。
- C截面相对于A截面的扭转角 ${\varphi }_{AC} = {\varphi }_{AB} - {\varphi }_{BC} = 0.0061rad - 0.0100rad = -0.0039rad$。