题目

粒径为 1mu 球状 (Al)_2(O)_3 由过量的 (MgO) 微粒包围，观察尖晶石的形成，在恒定温度下，第一个小时有 20% 的 (Al)_2(O)_3 起了反应，计算完全反应的时间。(1) 用扬德方程计算(2) 用金斯特林格方程计算(3) 比较扬德方程、金斯特林格方程优缺点及适用条件。

粒径为 $1\mu$ 球状 $\text{Al}_2\text{O}_3$ 由过量的 $\text{MgO}$ 微粒包围，观察尖晶石的形成，在恒定温度下，第一个小时有 $20\%$ 的 $\text{Al}_2\text{O}_3$ 起了反应，计算完全反应的时间。

(1) 用扬德方程计算

(2) 用金斯特林格方程计算

(3) 比较扬德方程、金斯特林格方程优缺点及适用条件。

题目解答

答案

1. 根据扬德方程： \[ 0.2 = 1 - \left(1 - \frac{1}{t_0}\right)^{1/3} \implies t_0 = 2.05 \, \text{h} \] 当 $ \alpha = 1 $ 时，$ t_{\text{total}} = t_0 = 2.05 \, \text{h} $。 2. 根据金斯特林格方程： \[ 1 - \frac{2}{3} \times 0.2 - (0.8)^{2/3} = 0.0049 = \frac{k}{r_0^2} \] 当 $ \alpha = 1 $ 时： \[ \frac{1}{3} = 0.0049 \times t_{\text{total}} \implies t_{\text{total}} \approx 68 \, \text{h} \] 3. 比较： - 扬德方程：形式简单，适用于反应初期（α < 0.1），但未考虑产物层增厚影响，总时间被低估。 - 金斯特林格方程：更符合实际，适用于α > 0.1的情况，但计算复杂。 - 本题中，扬德方程得 $ t_{\text{total}} = 2.05 \, \text{h} $，金斯特林格方程得 $ t_{\text{total}} \approx 68 \, \text{h} $，后者更合理。 答案： (1) 完全反应时间 $ t_{\text{total}} = 2.05 \, \text{h} $。 (2) 完全反应时间 $ t_{\text{total}} \approx 68 \, \text{h} $。 (3) 扬德方程适用于反应初期（α < 0.1），形式简单但未考虑产物层增厚；金斯特林格方程更符合实际，适用于α > 0.1，但计算复杂。本题中，金斯特林格方程更合理。

解析

本题主要考察利用扬德方程和金斯特林格方程计算固相反应完全反应的时间，并比较这两个方程的优缺点及适用条件。解题思路如下：

  1. 扬德方程计算：
    • 扬德方程的表达式为$\alpha = 1 - (1 - \frac{1}{t_0})^{1/3}$，其中$\alpha$是反应分数，$t_0$是与反应速率相关的参数。
    • 已知第一个小时有$20\%$的$\text{Al}_2\text{O}_3$起了反应，即$\alpha = 0.2$，将其代入扬德方程，可求出$t_0$的值。
    • 当反应完全时，$\alpha = 1$，此时完全反应的时间$t_{\text{total}} = t_0$。
    • 具体计算过程如下：
      将$\alpha = 0.2$代入$\alpha = 1 - (1 - \frac{1}{t_0})^{1/3}$，得到$0.2 = 1 - (1 - \frac{1}{t_0})^{1/3}$。
      移项可得$(1 - \frac{1}{t_0})^{1/3}=1 - 0.2 = 0.8$。
      两边同时立方，得到$1 - \frac{1}{t_0}=0.8^3 = 0.512$。
      移项可得$\frac{1}{t_0}=1 - 0.512 = 0.488$。
      解得$t_0=\frac{1}{0.488}\approx 2.05\,\text{h}$。
      当$\alpha = 1$时，$t_{\text{total}} = t_0 = 2.05\,\text{h}$。
  2. 金斯特林格方程计算：
    • 金斯特林格方程的表达式为$1 - \frac{2}{3}\alpha - (1 - \alpha)^{2/3}=\frac{k}{r_0^2}t$，其中$k$是反应速率常数，$r_0$是反应物颗粒的初始半径。
    • 已知$\alpha = 0.2$，将其代入金斯特林格方程，可求出$\frac{k}{r_0^2}$的值。
    • 当反应完全时，$\alpha = 1$，将$\alpha = 1$和求出的$\frac{k}{r_0^2}$的值代入金斯特林格方程，可求出完全反应的时间$t_{\text{total}}$。
    • 具体计算过程如下：
      将$\alpha = 0.2$代入$1 - \frac{2}{3}\alpha - (1 - \alpha)^{2/3}=\frac{k}{r_0^2}t$，当$t = 1\,\text{h}$时，有$1 - \frac{2}{3}\times 0.2 - (1 - 0.2)^{2/3}=\frac{k}{r_0^2}\times 1$。
      先计算$1 - \frac{2}{3}\times 0.2 - (1 - 0.2)^{2/3}=1-\frac{0.4}{3}-0.8^{2/3}$
      $=1 - 0.133 - 0.896 = 0.0049$，即$\frac{k}{r_0^2}=0.0049$。
      当$\alpha = 1$时，金斯特林格方程变为$1 - \frac{2}{3}\times 1 - (1 - 1)^{2/3}=\frac{k}{r_0^2}t_{\text{total}}$，即$\frac{1}{3}=0.0049\times t_{\text{total}}$。
      解得$t_{\text{total}}=\frac{1/3}{0.0049}\approx 68\,\text{h}$。
  3. 比较扬德方程、金斯特林格方程优缺点及适用条件：
    • 扬德方程形式简单，在推导过程中未考虑产物层增厚对反应速率的影响，因此适用于反应初期（$\alpha < 0.1$），但在计算总反应时间时会低估实际时间。
    • 金斯特林格方程考虑了产物层增厚对反应速率的影响，更符合实际情况，适用于$\alpha > 0.1$的情况，但方程形式相对复杂，计算过程也更繁琐。
    • 在本题中，由于$\alpha = 0.2>0.1$，金斯特林格方程的计算结果更合理。