有正、逆反应均为一级反应的对峙反应 (A)underset({{k)_(-1)}}(overset{{{k)_1}}(longleftrightarrow)}(B)，已知其速率常数和平衡常数与温度的关系分别为 lg ( ({k)_1}(/)({{s)}^-1} )({p)_({{{H)}_2}}}=-(2000)/(T(/)K)+4.0；lg K=(2000)/(T(/)K)-4.0，K=(({k)_1})/(({k)_{-1)}}。反应开始时，[A]0=0.5 mol⋅dm−3，[B]0=0.05 mol⋅dm−3。试计算：逆反应的活化能。400 K 时，反应 10 s 后，(A) 和 (B) 的浓度。400 K 时，反应达平衡后，(A) 和 (B) 的浓度。

考查要点：本题涉及对峙反应的速率常数与平衡常数关系、活化能计算、浓度随时间变化及平衡浓度的求解。
解题思路：

1. 活化能计算：利用阿伦尼乌斯方程和题目给出的速率常数与温度关系，结合平衡常数与温度的关系，推导逆反应的活化能。
2. 浓度随时间变化：建立微分方程，利用总浓度守恒和初始条件求解。
3. 平衡浓度：通过平衡条件和总浓度守恒直接计算。

第（1）题：逆反应的活化能

阿伦尼乌斯方程与正反应活化能

根据正反应速率常数关系式 $\lg(k_1/\text{s}^{-1}) = -\frac{2000}{T/\text{K}} + 4.0$，对应阿伦尼乌斯方程的线性形式：
$\lg k_1 = \lg A_1 - \frac{E_{a1}}{2.303RT}$
对比系数得斜率为 $-2000$，即：
$-\frac{E_{a1}}{2.303R} = -2000 \implies E_{a1} = 2000 \cdot 2.303 \cdot 8.314 \approx 38.28 \, \text{kJ/mol}$

平衡常数与逆反应活化能

平衡常数 $K = \frac{k_1}{k_{-1}}$，其关系式 $\lg K = \frac{2000}{T/\text{K}} - 4.0$ 对应范特霍夫方程：
$\lg K = \frac{\Delta H}{2.303R} \cdot \frac{1}{T} - \frac{\Delta S}{2.303R}$
对比系数得 $\Delta H = -2000 \cdot R \cdot \ln 10 \approx -41.84 \, \text{kJ/mol}$。
根据活化能关系 $\Delta H = E_{a1} - E_{a(-1)}$，得：
$E_{a(-1)} = E_{a1} - \Delta H = 38.28 - (-41.84) \approx 76.59 \, \text{kJ/mol}$

第（2）题：400 K时反应10 s后的浓度

求速率常数

代入 $T=400 \, \text{K}$：
$\lg k_1 = -\frac{2000}{400} + 4.0 = -1 \implies k_1 = 0.1 \, \text{s}^{-1}$
平衡常数 $K = 10$，故 $k_{-1} = \frac{k_1}{K} = 0.01 \, \text{s}^{-1}$。

微分方程求解

总浓度守恒：$[A] + [B] = 0.55 \, \text{mol/dm}^3$。
微分方程通解：
$[A] = \frac{k_{-1}C}{k_1 + k_{-1}} + \left( [A]_0 - \frac{k_{-1}C}{k_1 + k_{-1}} \right) e^{-(k_1 + k_{-1})t}$
代入数据：
$[A] = 0.05 + (0.5 - 0.05)e^{-1.1} \approx 0.2 \, \text{mol/dm}^3, \quad [B] = 0.55 - 0.2 = 0.35 \, \text{mol/dm}^3$

第（3）题：平衡时的浓度

平衡条件与浓度守恒

平衡时 $k_1[A] = k_{-1}[B]$，结合 $[A] + [B] = 0.55$，得：
$[A] = \frac{0.55}{1 + K} = 0.05 \, \text{mol/dm}^3, \quad [B] = 10 \cdot 0.05 = 0.5 \, \text{mol/dm}^3$