5.4 矩形截面悬臂梁如图所示,已知 =4m, dfrac (b)(h)=dfrac (2)(3), =10kN/m, [ alpha ] =10MPa 试-|||-确定此梁横截面的尺寸。-|||-q-|||-1 =-|||-b-|||-题5.4图

考查要点：本题主要考查悬臂梁在均布荷载作用下的强度计算，涉及最大弯矩的确定、截面模量的计算以及尺寸优化设计。

解题核心思路：

1. 确定最大弯矩：悬臂梁自由端受均布荷载时，固定端根部弯矩最大，公式为 $M_{\text{max}} = \frac{1}{2} q l^2$。
2. 建立正应力公式：正应力 $\sigma = \frac{M_{\text{max}}}{W}$，其中截面模量 $W = \frac{b h^2}{6}$。
3. 利用宽高比简化变量：通过 $\frac{b}{h} = \frac{2}{3}$，将 $b$ 用 $h$ 表示，转化为单变量方程。
4. 求解最小尺寸：代入许用正应力 $[\sigma]$，解不等式 $\frac{M_{\text{max}}}{W} \leq [\sigma]$，得到 $h$ 和 $b$ 的最小值。

破题关键点：

• 正确应用悬臂梁弯矩公式。
• 将宽高比代入消元，简化计算。
• 注意单位统一（如 $q$ 的单位转换为 $kN/m$，许用应力转换为 $Pa$）。

1. 计算最大弯矩

悬臂梁在均布荷载 $q$ 作用下，固定端根部的最大弯矩为：
$M_{\text{max}} = \frac{1}{2} q l^2 = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{kN/m} \times (4 \, \text{m})^2 = 80 \, \text{kN·m} = 80,000 \, \text{N·m}.$

2. 建立正应力公式

矩形截面的截面模量为：
$W = \frac{b h^2}{6}.$
正应力需满足：
$\sigma = \frac{M_{\text{max}}}{W} \leq [\sigma].$

3. 利用宽高比消元

由 $\frac{b}{h} = \frac{2}{3}$，得 $b = \frac{2}{3} h$，代入截面模量公式：
$W = \frac{\left( \frac{2}{3} h \right) h^2}{6} = \frac{2 h^3}{18} = \frac{h^3}{9}.$

4. 代入许用应力求解

将 $W$ 和 $M_{\text{max}}$ 代入正应力公式：
$\frac{80,000}{h^3 / 9} \leq 10 \times 10^6 \, \text{Pa},$
化简得：
$h^3 \geq \frac{80,000 \times 9}{10 \times 10^6} = 0.072 \, \text{m}^3.$
取立方根：
$h \geq \sqrt[3]{0.072} \approx 0.416 \, \text{m} = 416 \, \text{mm}.$
对应宽度：
$b = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \times 416 \, \text{mm} \approx 277 \, \text{mm}.$