题目

用自身定义自身的方法, 称为递归(recursive) 定义. 以下定义方式属于递归定义的是 ( ).A. ) (a)_(0)=1 (a)_(n)=(a)_(n-1)cdot (a)_(0) . ,=1,2, ...

用自身定义自身的方法, 称为递归(recursive) 定义. 以下定义方式属于递归定义的是 ( ).

A. $\left\{\begin{array}{l}a_{0}=1 \\ a_{n}=a_{n-1} \cdot a_{0} \quad, n=1,2, \ldots\end{array}\right.$

B. $f_n=2^n,n=0,1,2,\ldots$

C. $\left\{\begin{array}{c}f_{0}=f_{1}=1 \\ f_{n}=f_{n-1} \cdot f_{n-2}, n=2,3, \ldots\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}a_{0}=\frac{1}{} \\ a_{n}=a_{0} \cdot(n+1)^{2}, n=1,2, \ldots\end{array}\right.$

题目解答

首先，我们来了解什么是递归定义。递归定义是指一个对象的定义中直接或间接地引用了自身，形成一个循环的、自我参照的定义方式。具体到数学中的序列或函数，递归定义通常表现为序列或函数的每一项（或每一值）都与其前一项（或前几项）有关。

现在，我们逐一分析每个选项：

$\left\{ \begin{array}{l} a_{0} = 1 \\ a_{n} = a_{n-1} \cdot a_{0}, \quad n = 1, 2, \ldots \end{array} \right.$

这里， $a_n$ 的定义依赖于 $a_{n-1}$ 和 $a_0$ ，其中 $a_0$ 是已知的。虽然 $a_n$ 使用了自身的前一项 $a_{n-1}$ ，但 $a_{n-1}$ 并不直接参与定义 $a_n$ 的过程（因为 $a_0$ 是常数），所以 A 项不是递归定义。

$f_n=2^n,\quad n=0,1,2,\ldots$

这里 $f_n$ 的定义完全基于 n 和常数 2，并没有涉及到序列的前一项或任何自身的内容，因此 B 项不是递归定义。

$\left\{ \begin{array}{c} f_{0} = f_{1} = 1 \\ f_{n} = f_{n-1} \cdot f_{n-2}, \quad n = 2, 3, \ldots \end{array} \right.$

在这个定义中， $f_n$ 的值是基于其前两项 $f_{n-1}$ 和 $f_{n-2}$ 的乘积。这是一个典型的递归定义，因为每一项都直接依赖于其前面的项。

$\left\{ \begin{array}{l} a_{0} = \frac{1}{} \\ a_{n} = a_{0} \cdot (n + 1)^2, \quad n = 1, 2, \ldots \end{array} \right.$

这里， $a_n$ 的定义虽然涉及到了 $a_0$ ，但 $a_0$ 是常数，而 $a_n$ 并不依赖于 $a_{n-1}$ 或其他前面的项。因此，D 项不是递归定义。

综上所述，只有 C 项符合递归定义的特征，即序列的每一项都直接依赖于其前面的项。

本题故选 C。

递归定义的核心特征是定义中直接或间接地引用自身，通常表现为序列的每一项依赖于前面的项。判断选项是否为递归定义，需关注以下两点：

选项分析

选项A

选项B

选项C

定义：$\left \{ \begin{matrix} a_0 = 1 \\ a_n = a_{n-1} \cdot (n+1)^2, \quad n=1,2,\dots \end{matrix} \right.$
分析：$a_n$明确依赖前项$a_{n-1}$，且初始值$a_0$已给定。
结论：属于递归定义。

选项D

定义：$\left \{ \begin{matrix} a_0 = 1 \\ a_n = a_0 \cdot (n+1)^2, \quad n=1,2,\dots \end{matrix} \right.$
分析：$a_n$仅依赖初始值$a_0$，与前项$a_{n-1}$无关。
结论：不是递归。