题目

用自身定义自身的方法, 称为递归(recursive) 定义. 以下定义方式属于递归定义的是 ( ).A. ) (a)_(0)=1 (a)_(n)=(a)_(n-1)cdot (a)_(0) . ,=1,2, ...

用自身定义自身的方法, 称为递归(recursive) 定义. 以下定义方式属于递归定义的是 ( ).

A. 

B.  

C. 

D.  

题目解答

答案

首先，我们来了解什么是递归定义。递归定义是指一个对象的定义中直接或间接地引用了自身，形成一个循环的、自我参照的定义方式。具体到数学中的序列或函数，递归定义通常表现为序列或函数的每一项（或每一值）都与其前一项（或前几项）有关。

现在，我们逐一分析每个选项：

A. 

这里， 的定义依赖于 和 ，其中  是已知的。虽然 使用了自身的前一项 ，但并不直接参与定义 的过程（因为 是常数），所以 A 项不是递归定义。

B. 

这里的定义完全基于 n 和常数 2，并没有涉及到序列的前一项或任何自身的内容，因此 B 项不是递归定义。

C. 

在这个定义中， 的值是基于其前两项和 的乘积。这是一个典型的递归定义，因为每一项都直接依赖于其前面的项。

D. 

这里， 的定义虽然涉及到了 ，但 是常数，而  并不依赖于或其他前面的项。因此，D 项不是递归定义。

综上所述，只有 C 项符合递归定义的特征，即序列的每一项都直接依赖于其前面的项。

本题故选 C。

解析

递归定义的核心特征是定义中直接或间接地引用自身，通常表现为序列的每一项依赖于前面的项。判断选项是否为递归定义，需关注以下两点：

  1. 是否依赖自身前项：若当前项的定义仅涉及常数或独立变量（如选项B中的$n$），则不是递归。
  2. 依赖关系的直接性：若当前项的定义明确包含前项（如$a_{n-1}$），则属于递归（如选项C）。

选项分析

选项A

  • 描述：未明确给出递推关系，仅提到依赖$a_{n}-1$和常数00。
  • 结论：未体现当前项与前项的直接依赖关系，不是递归。

选项B

  • 定义：$f_n = 2^n$，$n=0,1,2,\dots$
  • 分析：每一项仅与$n$相关，无前项参与。
  • 结论：不是递归。

选项C

  • 定义：$\left \{ \begin{matrix} a_0 = 1 \\ a_n = a_{n-1} \cdot (n+1)^2, \quad n=1,2,\dots \end{matrix} \right.$
  • 分析：$a_n$明确依赖前项$a_{n-1}$，且初始值$a_0$已给定。
  • 结论：属于递归定义。

选项D

  • 定义：$\left \{ \begin{matrix} a_0 = 1 \\ a_n = a_0 \cdot (n+1)^2, \quad n=1,2,\dots \end{matrix} \right.$
  • 分析：$a_n$仅依赖初始值$a_0$，与前项$a_{n-1}$无关。
  • 结论：不是递归。